PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 14

Para calcular la matriz que define el endomorfismo, obtenemos las imágenes de los vectores de la base canónica de R³. Si el núcleo de t se define por una ecuación, harán falta dos vectores para formar una base del mismo, puesto que estamos considerando un endomorfismo de R³. Tomamos entonces como base de \( Nuc \; t = \{(1, -1, 0), (1, -1, 1)\} \) para obtener:

    \( \begin{array}{l} t(1, -1, 0) = t (1, 0, 0) - t(0, 1, 0) & = (0, 0, 0) \\ t(1, -1, 1) = t(1, 0, 0) – t(0, 1, 0) + t(0, 0, 1) & = (0, 0, 0) \\ t(0, 1, 0) = t(0, 1, 0) & = (-1, 1, -2) \end{array}\)
Restando la primera ecuación de la segunda y sumando la tercera y la primera, resulta:
    \( \begin{array}{l} t(1, -1, 1) – t(1, -1, 0) & = t(0, 0, 1) & = (0, 0, 0) \\ t(1, -1, 0) – t(0, 1, 0) & = (1, 0, 0) & = (-1, 1, -2) \end{array}\)
Podemos decir así que la matriz del endomorfismo respecto a la base canónica es:
    \(M(t, R^3) = t \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1& 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}\)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás