Dado el endomorfismo t de R³ definido por:

Núcleo de t = x₁ + x₂ = 0 ; t(0, 1, 0) = (-1, 1, -2)

Hallar la matriz que lo define en base canónica siendo x =(x₁, x₂, x₃) un vector genérico de R³.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 14

Para calcular la matriz que define el endomorfismo, obtenemos las imágenes de los vectores de la base canónica de R³. Si el núcleo de t se define por una ecuación, harán falta dos vectores para formar una base del mismo, puesto que estamos considerando un endomorfismo de R³. Tomamos entonces como base de Nuc t = {(1, -1, 0), (1, -1, 1)} para obtener:

t(1, -1, 0) = t (1, 0, 0) – t(0, 1, 0)                 = (0, 0, 0)
t(1, -1, 1) = t(1, 0, 0) – t0, 1, 0) + t(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
t(0, 1, 0) = t(0, 1, 0)                                     = (-1, 1, -2)

Restando la primera ecuación de la segunda y sumando la tercera y la primera, resulta:

t(1, -1, 1) – t(1, -1, 0) = t(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
t(1, -1, 0) – t(0, 1, 0) = t(1, 0, 0) = (-1, 1, -2)

Podemos decir así que la matriz del endomorfismo respecto a la base canónica es:

Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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