En el espacio vectorial V3, sobre el cuerpo de los
números reales, se consideran los vectores a = (1, 0,
1) ; b = (0, 0, 1) ; c = (1, 0, 0). Hallar la dimensión,
las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones cartesianas
de la variedad lineal (subespacio) engendrado por los vectores
{a, b, c}.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 13
En primer lugar determinamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Al ser el rango 2, la dimensión del subespacio considerado
es 2.
Para encontrar las ecuaciones paramétricas, tenemos:
x = (x1, x2, x3) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1)
De donde podemos obtener:
x1 = α + γ ; x2 = 0 ; x3 = α + β
Que son las
ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial.
Para encontrar las ecuaciones cartesianas debemos tener en cuenta
que hemos de obtener tantas ecuaciones como indique la diferencia
n – r, siendo n la dimensión del espacio vectorial
principal y r la dimensión del subespacio considerado.
En nuestro caso tenemos: n – r = 3 – 2 = 1; debemos
encontrar, pues, una ecuación cartesiana. Dicha ecuación
será: x2 = 0.
Todos los vectores (x1, x2, x3)
que cumplan la condición dada pertenecen a dicho subespacio.
Ejercicios
resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de
espacios vectoriales |
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