PROBLEMAS RESUELTOS
MATEMÁTICAS
ESPACIOS VECTORIALES

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Problemas y ejercicios resueltos

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Ejercicios resueltos de álgebra lineal

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 13

En primer lugar determinamos el rango de la matriz de los coeficientes:
    \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \; \; ; \; \; \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow r = 2 \)
Al ser el rango 2, la dimensión del subespacio considerado es 2. Para encontrar las ecuaciones paramétricas, tenemos:
    \( x = (x_1, x_2, x_3) = \alpha(1, 0, 1) + \beta(0, 0, 1) + \gamma(1, 0, 0) \)
De donde podemos obtener:
    \(x_1 = \alpha + \gamma \; ; \; x_2 = 0 \; ; \; x_3 = \alpha + \beta \)
Que son las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial.

Para encontrar las ecuaciones cartesianas debemos tener en cuenta que hemos de obtener tantas ecuaciones como indique la diferencia n – r, siendo n la dimensión del espacio vectorial principal y r la dimensión del subespacio considerado. En nuestro caso tenemos: n – r = 3 – 2 = 1; debemos encontrar, pues, una ecuación cartesiana. Dicha ecuación será: x2 = 0.

Todos los vectores \( (x_1, x_2, x_3) \) que cumplan la condición dada pertenecen a dicho subespacio.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás