PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 12

Para que z, t formen una base, la igualdad \( \alpha \,z + \beta \,t = 0 \) sólo debe cumplirse para \( \alpha = \beta = 0 \). En este caso tenemos:
    \(\begin{array}{l} \alpha \,z + \beta \,t = 0 \Rightarrow \alpha (u+w) + \beta (u - w) = \\  \\ = 0 \Rightarrow (\alpha + \beta)u + (\alpha - \beta)w = 0 \end{array}\)
Pero como u, w es una base de E, los coeficientes deben ser nulos, es decir:
    \( \alpha + \beta = 0 \; ; \; \alpha - \beta = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \; ; \; \beta = 0 \)
Por lo tanto, el sistema {z, t} constituye una base de E.
Para determinar la segunda cuestión, debemos escribir los vectores u, w en función de los vectores z, t:
    \(\left. \begin{array}{l} z = u + w \\ \\ t = u - w \end{array} \right\} \; \; \begin{array}{l} \displaystyle z + t= 2u \Rightarrow u = \frac{z+t}{2}\\ \\ \displaystyle z - t= 2w \Rightarrow w = \frac{z-t}{2} \end{array}\)
Por lo tanto, el vector \( v = 3u – 5w\) lo podemos escribir:
    \( \displaystyle v = 3u – 5w = 3 \, \frac{z+t}{2} - 5 \, \frac{z - t}{2} = - z + 4 t\)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás