Sea E un espacio vectorial sobre R y sea {u, v} una base de
E. Se pide demostrar que los vectores z = u + v ; t = u –
v constituyen una base de E y descomponer el vector v = 3u –
5w en la base formada por los vectores z, t.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 12
Para que z, t formen una base, la igualdad α.z + β.t = 0 sólo
debe cumplirse para α = β = 0. En este caso tenemos:
Pero como u, w es una base de E, los coeficientes deben ser
nulos, es decir:
α + β = 0 ; α - β = 0 → α = 0 ; β = 0
Por lo tanto, el sistema {z, t} constituye una base de E.
Para determinar la segunda cuestión, debemos escribir
los vectores u, w en función de los vectores z, t:
Por lo tanto, el vector v = 3u – 5w lo podemos escribir:
Ejercicios
resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de
espacios vectoriales |
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