PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 36

Tal como hemos hecho en el ejercicio 35, podemos plantear el sistema:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{dx}{2pz - y^2} = \frac{dy}{y^2} = \frac{dz}{2p^2z - py^2 + qy^2} = \\
     \\
    = \frac{dp}{-p^3} = \frac{dq}{-[-2y(p+q)+qp^2]}
    \end{array}\)
Pero a partir de la ecuación del enunciado, tenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dz}{p^2z} =\frac{dp}{-p^3} \; \; \rightarrow \; \; \frac{dz}{z} = - \frac{dp}{p} \; \; \rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; \ln z = \ln C_1 - \ln p \; \; \rightarrow \; \; p = \frac{C_1}{z} \end{array}\)
Podemos despejar ahora q:
    \(\displaystyle z·\left(\frac{C_1}{z}\right)^2 - y^2·\left(\frac{C_1}{z}\right) + y^2q \; \; \rightarrow \; \; q = \left(\frac{C_1}{z}\right)\left(1 - \frac{C_1}{y^2}\right)\)
Con lo que tendremos:
    \(\displaystyle dz = pdx + qdy \; \; \rightarrow \; \; zdz = C_1dx + C_1\left(1 - \frac{C_1}{y^2}\right)dy \; \; \; (\ast)\)
Y haciendo y = Cte.
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    z·dz = C_1dx \; \; \rightarrow \; \; \frac{1}{2}z^2 = C_1x + \varphi(y) \; \; \rightarrow \; \; \\
     \\
    \rightarrow z·dz = C_1dx + \varphi'(y)dy
    \end{array}\)
Identificando esta última expresión con (*) nos queda:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \varphi'(y) = C_1\left(1 - \frac{C_1}{y^2}\right) \; \rightarrow \; d\varphi = C_1\left(1 - \frac{C_1}{y^2}\right)dy \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \varphi(y) = C_1y + C_1^2\frac{1}{y} + C_2 \end{array} \)
Y la solución final se obtendrá por
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \varphi(y) = \frac{1}{2}\, z^2 - C_1x = C_1y + C_1^2 \, \frac{1}{y} + C_2 \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; z^2 = 2 \left[C_1x + C_1y + C_1^2 \, \frac{1}{y} + C_2\right] \end{array} \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás