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Ejercicios
de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 34
Comprobamos que la expresión es integrable, es decir, que
se cumple (ver ejercicio 32)
\(\overrightarrow{V} · rot \overrightarrow{V} = 0\)
Siendo así, para resolver la ecuación, hacemos z
= cte (por ejemplo) y resulta:
\(\displaystyle \frac{dx}{xz(x+z)}+\frac{dy}{yz(y+z)} = 0 \; \;
, \; \; \frac{1}{z}\int \frac{dx}{x(x+z)}+ \frac{1}{z}\int\frac{dy}{y(y+z)}
= C(z)\)
Descomponiendo en fracciones simples e integrando nos queda:
\(\displaystyle C(z) = \frac{1}{z}\left[\ln \frac{x}{x+z} +
\ln \frac{y}{y+z}\right] = \frac{1}{z}·\ln \frac{x·y}{(x+z)(y+z)}\)
O lo que es igual:
\(\displaystyle \ln \frac{x·y}{(x+z)(y+z)} = z·C(z)\)
Para facilitar los cálculos podemos tomar antilogaritmos,
aunque el miembro de la derecha seguirá siendo una función
arbitraria de z, es decir:
\(\displaystyle \frac{x·y}{(x+z)(y+z)} = \exp [z·C(z)]
= \phi(z)\)
Diferenciando ahora esta expresión nos queda:
\((xdy + ydx)(x+z)(y+z) - (dx + dz)(y+z)xy - (dy+dz)(x+z)xy
= \)
\( = \big [(x+z)(y+z) \big]^2\phi'(z)dz \)
Y reagrupando términos e identificando:
\(\displaystyle \phi'(z) = - \frac{2xy(x+y+z)}{\big [(x+z)^(y+z)
\big]^2} = -2 ·\phi(z)·\frac{(x+y+z)}{(x+z)(y+z)}\)
Pero se tiene:
\( \displaystyle (x+z)(y+z) = xy + z(x+y+z) \; \; \Rightarrow \; \; (x+y+z)
= \frac{1}{z}[(x+z)(y+z) - xy]\)
Y de ese modo:
\(\displaystyle \phi'(z) = - \frac{2}{z}·\phi(z)·\frac{[(x+z)(y+z)
- x y]}{(x+z)(y+z)}= - \frac{2}{z}·\phi(z)[1 - \phi(z)
]\)
La expresión resultante es fácilmente integrable
por el método de separación de variables, pues tenemos:
\( \displaystyle \phi'(z) = \frac{d\phi}{dz} = - \frac{2}{z}·\phi(z)[1
- \phi(z) ] \; \; , \; \;\frac{d\phi}{\phi(z)[\phi(z) - 1]}
= \frac{2·dz}{z} \)
Descomponiendo en fracciones simples e integrando resulta:
\(\displaystyle \ln \left[\frac{\phi(z) - 1}{\phi(z)}\right]
= \ln K·z^2\)
Y despejando \( \phi(z) \) y sustituyendo por su valor nos queda:
\(\displaystyle \phi(z) = \frac{1}{1-K·z^2}\; \; , \; \;
\frac{x·y}{(x+z)(y+z)} = \frac{1}{1-K·z^2}\; \;
, \; \; K = \frac{x+y+z}{x·y·z}\)
Ejercicios
resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES |
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