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Ejercicios
de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 33
En primer lugar comprobamos si se tiene ((ver ejercicio 32)
\(\overrightarrow{V} · rot \overrightarrow{V} = 0\)
Para ello hacemos:
\(\displaystyle \overrightarrow{V} = \left(y+a \; \; , \; \;
\frac{z}{y+a} \; \; , \; \; -1 \right)\; \; , \; \; rot \overrightarrow{V}
= - \frac{1}{y+a}·\vec{i} - \vec{k}\)
Y a partir de ahí:
\(\overrightarrow{V} · rot \overrightarrow{V} = -1+1=0\)
Viendo que se cumplen las condiciones de integrabilidad, hacemos
z =cte ; dz = 0 y nos queda:
\(\displaystyle (y+a)dx + \frac{z·dy}{y+a} = 0 \; \;
, \; \; dx + \frac{z·dy}{(y+a)^2} = 0 \; \; , \; \; x
= \frac{z}{y+a} + \phi(z)\)
Diferenciando la expresión obtenida nos queda:
\(\displaystyle \phi'(z)dz = dx - \frac{dz}{y+a} + \frac{z·dy}{(y+a)^2}
\)
\( \displaystyle (y+a)dx + \frac{z·dy}{y+a} - (y+a)\left[\frac{1}{y+a}
+ \phi'(z)\right]dz = 0\)
Con lo que podemos identificar:
\(\displaystyle (y+a)\left[\frac{1}{y+a} + \phi'(z)\right] =
1 + (y+a)· \phi'(z) = 1 \; \; \Rightarrow \)
\( (y+a)· \phi'(z)
= 0 \; \; \Rightarrow \; \; \phi(z) = K\)
Y la solución final será:
\( \displaystyle x = \frac{z}{y+a} + K\)
Ejercicios
resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES |
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