PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 33

En primer lugar comprobamos si se tiene ((ver ejercicio 32)
    \(\overrightarrow{V} · rot \overrightarrow{V} = 0\)
Para ello hacemos:
    \(\displaystyle \overrightarrow{V} = \left(y+a \; \; , \; \; \frac{z}{y+a} \; \; , \; \; -1 \right)\; \; , \; \; rot \overrightarrow{V} = - \frac{1}{y+a}·\vec{i} - \vec{k}\)
Y a partir de ahí:
    \(\overrightarrow{V} · rot \overrightarrow{V} = -1+1=0\)
Viendo que se cumplen las condiciones de integrabilidad, hacemos z =cte ; dz = 0 y nos queda:
    \(\displaystyle (y+a)dx + \frac{z·dy}{y+a} = 0 \; \; , \; \; dx + \frac{z·dy}{(y+a)^2} = 0 \; \; , \; \; x = \frac{z}{y+a} + \phi(z)\)
Diferenciando la expresión obtenida nos queda:
    \(\displaystyle \phi'(z)dz = dx - \frac{dz}{y+a} + \frac{zdy}{(y+a)^2} \)

    \( \displaystyle (y+a)dx + \frac{zdy}{y+a} - (y+a)\left[\frac{1}{y+a} + \phi'(z)\right]dz = 0\)
Con lo que podemos identificar:
    \(\displaystyle (y+a)\left[\frac{1}{y+a} + \phi'(z)\right] = 1 + (y+a) \phi'(z) = 1 \; \; \Rightarrow \)

    \( (y+a) \phi'(z) = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \phi(z) = K\)
Y la solución final será:
    \( \displaystyle x = \frac{z}{y+a} + K\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás