PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 30

Tomando una función de la forma u(x,y) = X(x).Y(y) y sustituyendo en la ecuación:
    \( \displaystyle Y(y)\frac{dX}{dx} = 4X(x)\frac{dY}{dy} \; \; \Rightarrow \; \; \frac{X'}{X} = 4\frac{Y'}{Y}\)
Puesto que en la última ecuación el primer miembro sólo depende de x y el segundo es independiente de x, podemos igualar ambos a una constante escribir:
    \( \displaystyle \frac{X'}{X} = 4\frac{Y'}{Y} = - \lambda\)
De donde resultan las ecuaciones:
    \( \displaystyle X' + \lambda X = 0 \; \; \Rightarrow \; \; Y' + \frac{\lambda}{4}Y = 0\)
La primera de ellas tiene como solución general:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} X' + \lambda X= 0 \; \; ; \; \; \frac{dX}{X} + \lambda dx = 0 \\  \\ \ln X + \lambda x = \ln C_1 \; \; ; \; \; X = C_1e^{- \lambda x} \end{array}\)
Y para la segunda obtenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} Y' + \frac {\lambda}{4}Y = 0 \; \; ; \; \; \frac{dY}{Y} + \frac {\lambda}{4} dy = 0 \\  \\ \ln Y + \frac {\lambda}{4} Y = \ln C_2 \; \; ; \; \; Y = C_2e^{- \lambda y/4} \end{array}\)
De ahí que la solución general del problema que nos ocupa sea:
    \(\displaystyle u(x, y) = C_1e^{- \lambda x} C_2e^{- \lambda y/4} = K\exp \left[- \lambda\left(x + \frac{1}{4}y\right)\right]\)
Pero teniendo en cuenta la condición del enunciado:
    \(\displaystyle u(0, y) = 8 e^{- 3y} = K \exp \left[- \lambda\left( \frac{1}{4}y\right)\right]\)
Podemos deducir:
    \( \displaystyle K = 8 \; \; ; \; \; - \lambda\left(\frac{1}{4}y\right) = - 3y \; \; \Rightarrow \; \; \lambda = 12\)
Y finalmente, tendremos:
    \(\displaystyle u(x, y) = 8\exp \left[- 12\left(x + \frac{1}{4}y\right)\right]\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás