Ejercicios
de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 30
Tomando una función de la forma u(x,y) = X(x).Y(y) y sustituyendo
en la ecuación:
\( \displaystyle Y(y)·\frac{dX}{dx} = 4X(x)·\frac{dY}{dy} \quad \Rightarrow \quad \frac{X'}{X} = 4·\frac{Y'}{Y}\)
Puesto que en la última ecuación el primer miembro
sólo depende de x y el segundo es independiente de x, podemos
igualar ambos a una constante escribir:
\( \displaystyle \frac{X'}{X} = 4·\frac{Y'}{Y} = - \lambda\)
De donde resultan las ecuaciones:
\( \displaystyle X' + \lambda X = 0 \quad \Rightarrow \quad
Y' + \frac{\lambda}{4}Y = 0\)
La primera de ellas tiene como solución general:
\( \displaystyle X' + \lambda X= 0 \quad ; \quad \frac{dX}{X}
+ \lambda dx = 0\quad ; \quad \ln X + \lambda x = \ln C_1 \quad
; \quad X = C_1·e^{- \lambda x}\)
Y para la segunda obtenemos:
\( \displaystyle Y' + \frac {\lambda}{4}Y = 0 \quad ; \quad
\frac{dY}{Y} + \frac {\lambda}{4} dy = 0 \quad ; \quad \ln Y
+ \frac {\lambda}{4} Y = \ln C_2 \quad ; \quad Y = C_2·e^{-
\lambda y/4}\)
De ahí que la solución general del problema que
nos ocupa sea:
\(\displaystyle u(x, y) = C_1·e^{- \lambda x}· C_2·e^{- \lambda
y/4} = K·\exp \left[- \lambda\left(x + \frac{1}{4}y\right)\right]\)
Pero teniendo en cuenta la condición del enunciado:
\(\displaystyle u(0, y) = 8 e^{- 3y} = K· \exp \left[- \lambda\left(
\frac{1}{4}y\right)\right]\)
Podemos deducir:
\( \displaystyle K = 8 \quad ; \quad - \lambda\left(\frac{1}{4}y\right) = - 3y \quad \Rightarrow \quad \lambda = 12\)
Y finalmente, tendremos:
\(\displaystyle u(x, y) = 8·\exp \left[- 12\left(x + \frac{1}{4}y\right)\right]\)
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