PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 29

Para resolver el problema lo hacemos mediante el método del operador derivada:
    \((D_x D_y)z = x^2y \; \; \Rightarrow \; \; (D_x - 0)(D_y - 0)z = x^2y\)
Para la solución del problema homogéneo tenemos:
    \((D_x - 0)(D_y - 0)z = 0 \; \; \Rightarrow \; \; z_h = \phi(x) + \varphi(y) \)
Y para obtener una solución particular de la completa:
    \(\begin{array}{l} (D_x - 0)(D_y - 0)z_p = x^2y \\  \\ (D_x - 0)u_p = x^2y \; \; ; \; \; con \; \; u_p = (D_y - 0)z_p \end{array}\)
Para resolver la ecuación resultante hacemos:
    \(\displaystyle u'_{p_x} = x^2y \; \; \Rightarrow \; \; u_p = \frac{1}{3}x^3y\)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle u_p = (D_y - 0)z_p = \frac{1}{3}x^3y \; \; \Rightarrow \; \; z_p = \frac{1}{6}x^3y^2 \)
Con lo que, finalmente:
    \( z = \phi(x) + \varphi(y) + \frac{1}{6}x^3y^2 \)
Para encontrar la solución particular que verifique la condición del enunciado, hacemos:
    \( \left. \begin{matrix} \displaystyle z(x, 0) = \phi(x) = x^2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \\ \displaystyle \; \; \; z(1, y) = \phi(1) + \varphi(y) + \frac{1}{6}y^2 = \cos y \end{matrix}\right \} \displaystyle \; \; \varphi(y) = \cos y - 1 - \frac{1}{6}y^2 \)
Con lo que, finalmente, resultará:
    \(z(x, y) = x^2 + \cos y - 1 - \frac{1}{6}y^2 + \frac{1}{6}x^3y^2\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás