PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 31

Para resolver la ecuación, hacemos y = Cte, con lo cual dy = 0 y a partir de ahí tendremos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{z}{x}dx - dz = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \frac{dx}{x} - \frac{dz}{z} = 0 \; \; \Rightarrow \\  \\ \ln x - \ln z = \ln \varphi(y) \; \; \Rightarrow \; \; \frac{x}{z} = \varphi(y) \end{array} \)
Diferenciando la expresión anterior nos queda:
    \(\displaystyle \frac{dx}{z} - \frac{x·dz}{z^2} - \varphi'(y)dy = 0\)
Multiplicando todos los términos por el factor \( z^2/x\) e identificando coeficientes con la ecuación (1), resulta:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{z dx}{x} - \frac{z^2\varphi'(y)}{x}dy - dz = 0 \\  \\ - \frac{z^2\varphi'(y)}{x} = \frac{z-x}{y} \; \; ; \; \; \varphi'(y) = - \frac{(z-x)x}{yz^2} \end{array} \)
En principio, esta expresión es función de las tres variables, x,y,z, pero hemos visto que se tiene:
    \(\displaystyle \varphi(y) = \frac{x}{z}\)
Con lo cual:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \varphi'(y) = - \frac{1}{y}\left(\frac{x}{z} - \frac{x^2}{z^2} \right) = - \frac{1}{y}(\varphi - \varphi^2) = \frac{1}{y}(\varphi^2 - \varphi) \\  \\ \frac{d\varphi}{dy} = \frac{1}{y}(\varphi^2 - \varphi) \end{array} \)
Y separando variables:
    \(\displaystyle \frac{d\varphi}{(\varphi^2 - \varphi)}= \frac{dy}{y} \; \; \; \; \left(- \frac{1}{\varphi} + \frac{1}{\varphi - 1}\right)d\varphi = \frac{dy}{y}\)
Por lo que integrando:
    \(\displaystyle - \ln \varphi + \ln (\varphi - 1) = \ln y + \ln K \; \; \Rightarrow \; \; \frac{\varphi - 1}{\varphi} = Ky\)
Pero teniendo en cuenta el valor de φ:
    \(\displaystyle \frac{\varphi - 1}{\varphi} = Ky \; \; \; \; \frac{(x/z) - 1}{(x/z)} = Ky \; \; \Rightarrow \; \; z = x(1 - Ky)\)
Puede comprobarse sin dificultad que la expresión obtenida verifica la ecuación diferencial dada en el enunciado.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás