PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales
    \(\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \; \; \; para \; z^2 + y^2 = 1 \; ; \; x = 1 \)
- Respuesta 28

En este caso tenemos dz = 0 por lo que resulta trivialmente z = C1. Para lo demás:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} \; \; \Rightarrow \; \; \ln x = \ln y + \ln C_2 \; \; \Rightarrow \; \\  \\ \Rightarrow \; x = C_2y \; \; \Rightarrow \; \; C_2 = x/y \end{array} \)
Con todo ello, para las condiciones particulares dadas, resulta:
    \( \begin{array}{l} \left. \begin{matrix} \displaystyle C_2 = \frac{x}{y} = \frac{1}{y} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \\ \displaystyle \; \; \; C_1 = z^2 = 1 - y^2 = 1 - \frac{1}{C_2^2}\end{matrix}\right \} \displaystyle \; \; z^2 = \\  \\ = \displaystyle 1 - \frac{x^2}{y^2} \; \; \Rightarrow \; \; z^2 +\left(\frac{x}{y}\right)^2 = 1 \end{array}\)
Que es la solución buscada.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás