PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales:
    \(\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} + z = 0\)
- Respuesta 27

Como en otros casos, teniendo en cuenta los resultados teóricos, podemos escribir:
    \(\displaystyle \frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} = - \frac{dz}{z}\)
De donde resulta fácil obtener:
    \(\displaystyle \frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} \; \; \Rightarrow \; \; \ln x = \ln y + \ln C_1 \; \; \Rightarrow \; \; x = C_1y \; \; \Rightarrow \; \; C_1 = x/y\)

    \( \displaystyle \frac{dx}{x} = - \frac{dz}{z} \; \; \Rightarrow \; \; \ln x = - \ln y + \ln C_2 \; \Rightarrow \; x = C_2/z \; \Rightarrow \; C_2 = xz\)
Por lo tanto, la relación arbitraria que liga a las dos constantes es:
    \(\Phi\left(C_1, C_2\right) = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \Phi(x/y, xz) = 0\)
Para obtener la solución particular tenemos:
    \( \begin{array}{l} \left. \begin{matrix} C_2 = xz \; (z = 1) = x1 = x \; \; \\ \\ \; \; x+y = 1 \; \; \Rightarrow \; \; y = 1-x = 1 - C_2 \end{matrix}\right \} \; \; C_1 = \\  \\ = \displaystyle \frac{x}{y}= \frac{C_2}{1-C_2} \; \; \Rightarrow \; \; \frac{x}{y}= \frac{xz}{1-xz} \end{array}\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás