Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales:

\(\displaystyle x·\frac{\partial z}{\partial x} - y·\frac{\partial z}{\partial y} = xy\)

- Respuesta 26

Por teoría, sabemos que se cumple:

\(\displaystyle \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{y} = \frac{dz}{xy}\)

Y a partir de ahí, tomando la igualdad de la izquierda:

\(\displaystyle \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{y} \; \; \Rightarrow \; \; y·dx + x·dy = 0 \; \; \Rightarrow \; \; x·y = C_1\)

Sustituyendo el valor obtenido para x.y,

\(\displaystyle \frac{dx}{x} = \frac{dz}{xy} = \frac{dz}{C_1} \; \; \Rightarrow \; \; dz = C_1· \frac{dx}{x} \; \; \Rightarrow \; \; z = C_1 · \ln x + C_2\)

La solución general de la ecuación establece una relación arbitraria entre las constantes C1 y C2:

\(\Phi\left(C_1, C_2\right) = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \Phi(xy, z-xy·\ln x) = 0\)