Ejercicios de ecuaciones en derivadas
parciales
Resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales:
\(\displaystyle x·\frac{\partial z}{\partial x} - y·\frac{\partial
z}{\partial y} = xy\)
- Respuesta 26
Por teoría, sabemos que se cumple:
\(\displaystyle \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{y} = \frac{dz}{xy}\)
Y a partir de ahí, tomando la igualdad de la izquierda:
\(\displaystyle \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{y} \; \; \Rightarrow
\; \; y·dx + x·dy = 0 \; \; \Rightarrow \; \; x·y = C_1\)
Sustituyendo el valor obtenido para x.y,
\(\displaystyle \frac{dx}{x} = \frac{dz}{xy} = \frac{dz}{C_1}
\; \; \Rightarrow \; \; dz = C_1· \frac{dx}{x} \; \; \Rightarrow
\; \; z = C_1 · \ln x + C_2\)
La solución general de la ecuación establece una
relación arbitraria entre las constantes C1 y C2:
\(\Phi\left(C_1, C_2\right) = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \Phi(xy,
z-xy·\ln x) = 0\)