PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 25

La ecuación del enunciado se puede escribir en la forma:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u }{\partial t^2} - a \frac{\partial^2 u }{\partial x^2} = a \sin(\alpha x - \omega t)\)
Con lo que tenemos un problema de valores iniciales puro para una cuerda vibrante. Desarrollando el cambio de variables:
    \(\xi = x + \sqrt{a}t \; \; ; \; \; \eta = x - \sqrt{a}t\)
Podemos transformar la ecuación:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u }{\partial t^2} = a\left(\frac{\partial^2 u }{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2 u }{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u }{\partial \eta^2} \right) \; \; ; \; \; \frac{\partial^2 u }{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u }{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u }{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u }{\partial \eta^2}\)
Y resulta:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2 u }{\partial \xi \partial \eta} = \frac{1}{4} \sin \left[\alpha \frac{\xi + \eta}{2} - \omega \frac{\xi - \eta}{2\sqrt{a}}\right]\)
Podemos llegar así a la solución de d’Alambert dada por:
    \(\displaystyle u(x, t) = \frac{1}{2}\left[f \Big (x + \sqrt{a}t \Big ) - f \Big (x - \sqrt{a}t \Big) \right] + \)

    \(\displaystyle + \frac{1}{2\sqrt{a}}\int \limits_{x-\sqrt{a}t}^{x+\sqrt{a}t} g(\bar{x})d\bar{x} + \frac{1}{2\sqrt{a}}\int \limits_0^t \int \limits_{x-\sqrt{a}t}^{x+\sqrt{a}t}F(\bar{x}, \bar{t})d\bar{x} d\bar{t} \)
En nuestro caso tenemos las condiciones iniciales:
    \( \displaystyle u(x, 0) = f(x) = 0 \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = g(x) = 0\)
Por lo que nos quedará:
    \(\displaystyle u(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{a}}\int \limits_0^t \int \limits_{x-\sqrt{a}t}^{x+\sqrt{a}t} - a \sin (\alpha \bar {x} - \omega \bar {t})d\bar{x} d\bar{t} = \)

    \(\displaystyle = \frac{\sqrt{a}}{2}\int \limits _0^t\left[\frac{1}{\alpha} \cos (\alpha \bar {x} - \omega \bar {t}) \right] _{x-\sqrt{a}t}^{x+\sqrt{a}t} d \bar{t} \)
Y operando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} u(x, t) = \frac{\sqrt{a}}{2\alpha}\int \limits _0 ^t \left[\cos (\alpha[x + \sqrt{a}(t - \bar{t})] - \omega \bar {t}) - \right. \\  \\ \left. - \cos (\alpha[x - \sqrt{a}(t - \bar{t})] - \omega \bar {t}) \right]d \bar{t} \end{array}\)
Con lo que finalmente, después de realizar la última integración:
    \( \displaystyle u(x, t) = - \frac{\sqrt{a}}{2\alpha}\left\{\frac{2\alpha \sqrt{a}}{\alpha ^2 a - \omega ^2} \sin (\alpha x - \omega t) - \right.\)
    \( \displaystyle \left. -\frac{1}{\alpha\sqrt{a} + \omega} \sin \left[\alpha (x + \sqrt{a}t)\right] - \frac{1}{\alpha\sqrt{a} - \omega} \sin \left[\alpha (x + \sqrt{a}t)\right]\right\}\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás