PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 24

Las condiciones homogéneas del problema son las mismas que las del ejercicio 23, por lo que tendremos:
    \( u_n (x, t) = X_n(x) ·T_n(t) = \sin nx e^{- n^2kt}\)
Vemos que ninguna de las un(x, t) verifica un(x, 0) = x(π – x) . Ensayando una expresión de la forma:
    \(u(x, t) = \sum C_n u_n (x, t)\)
Se ha de verificar:
    \(\sum C_n u_n (x, 0) = \sum C_n \sin nx = x(\pi - x) \)
Es decir, que los Cn son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de la función x(π – x) . Tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} C_n = \frac{2}{\pi} \int \limits _0^\pi x(\pi - x)\sin n x dx = \\  \\ = 2\int \limits _0^\pi x\sin n x dx - \frac{2}{\pi} \int \limits _0^\pi x^2\sin n x dx \end{array} \)
Y desarrollando las integrales:
    \( \displaystyle C_n = \frac{2}{n^2}\left[ \sin n x \right]_0 ^\pi - \frac{2}{n}\left[x \cos n x \right]_0 ^\pi + \frac{2}{n \pi}\left[x^2 \cos n x \right]_0 ^\pi - \)

    \( \displaystyle -\frac{4}{n^2 \pi}\left[x \sin n x \right]_0 ^\pi - \frac{4}{n^3 \pi}\left[ \cos n x \right]_0 ^\pi = 4\frac{1 - (-1)^n}{n^3 \pi} \)
La expresión obtenida vale 0 si n es par, por lo tanto, finalmente, resultará
    \(C_{2n-1} = \displaystyle \frac{8}{\pi}\frac{1}{(2m-1)^3}\)
Con lo que obtenemos:
    \(u(x, t) = \displaystyle \frac{8}{\pi}\sum \limits _{m=1} ^\infty \frac{e^{-(2m-1)^2t}}{(2m-1)^3} \sin (2m-1)x\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás