PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Ver enunciado del ejercicio en:

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 
Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 23

Ensayamos una solución del problema por el método de variables separadas. Poniendo u(x, t) = X(t)•T(t) resulta:
    \( X(x) T'(t) - kX"(x)T(t) = 0\)
Dividiendo por X(x)•T(t) y separando variables, obtenemos para la parte homogénea:
    \( \displaystyle \frac {T'(t)}{kT(t)} = \frac {X"(x)}{X(x)} \; \; \left| \begin{matrix} X(x) T(0) = \sin^3 x \; \; \\ \\ X(0) T(t) = 0 \; \; ; \; \; X(\pi) T(t) = 0 \end{matrix} \right. \)
Se obtienen, por tanto, los problemas:
    \( \left. \begin{matrix} X" + \lambda X = 0 \; \; \\ \\ \; \; X(0) = X(\pi) = 0 \end{matrix}\right | \; \; T' + \lambda kT = 0 \)
El primero de los problemas sólo tiene la solución X(x) = 0 si λ < 0. En efecto, si se cumple lo dicho, la solución general es:
    \(X(x) = C_1 e^{+ \sqrt{- \lambda}x} + C_2 e^{- \sqrt{- \lambda}x}\)
La primera condición X(0) = 0 nos da:
    \( X(0) = C_1 + C_2 = 0 \; \; \Rightarrow \; \; C_1 = - C_2\)
Y la segunda:
    \(X(\pi) = C_1 e^{+ \sqrt{- \lambda}\pi} + C_2 e^{- \sqrt{- \lambda}\pi} = C_1 \left( e^{+ \sqrt{- \lambda}\pi} - e^{- \sqrt{- \lambda}\pi} \right ) = \)
    \( = 2 C_1 \sinh \sqrt {- \lambda} \pi = 0 \)
Lo que implica que las dos constantes, C1 y C2 son nulos.
Para λ = 0 tenemos:
    \( X" (x) = 0 \; \; \Rightarrow \; \; X(x) = C_1x + C_2\)

    \( X(x) = 0 = C_2 \; \; ; \; \; X(\pi) = C_1 \pi = 0 \; \; \Rightarrow \; \; X(x) = 0 \)
Tomamos entonces λ > 0 y la solución general de la ecuación es:
    \(X(x) = C_1 \cos \sqrt{\lambda}x + C_1 \sin \sqrt{\lambda}x\)
La primera condición da X(0) = C1 = 0 ; la segunda:
    \(X(\pi) = C_2 \sin \sqrt{\lambda} \pi = 0\)
Si C2 = 0, la solución es X(x) = 0. Si deseamos soluciones no triviales debe cumplirse:
    \( \sin \sqrt{\lambda} \pi = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \sqrt{\lambda} \pi = n \pi \; \; \Rightarrow \; \; n = 1, 2, ... (n \neq 0) \; \; \lambda = n^2\)
Para cada valor de n existe una solución distinta de cero, Xn(x) = sen nx.

Tomando el valor obtenido de λ en la ecuación de T, obtendremos:
    \(T^{\: \prime} (t) + n^2 k T = 0 \; \; \Rightarrow \; \; T_n = e^{- n^2kt} \)
Es decir, una solución para cada valor de n.
Tanto en este caso como en el de Xn(x), también es solución cualquier múltiplo de estas funciones, pues ambos problemas, en x y en t, son homogéneos. Obtenemos, por tanto, un conjunto infinito numerable de soluciones de la parte homogénea del problema de partida. Son las funciones:
    \( u_n (x, t) = X_n(x) ·T_n(t) = \sin nx e^{- n^2kt}\)
Para t = 0 resulta:
    \( u_n (x, 0) = X_n(x) ·T_n(0) = \sin nx \)
Que no verifica la condición inicial u(x,0) = sen³ x para ningún valor de n, pero puede ocurrir que una combinación lineal, finita o no, de las un las verifique. La expresión:
    \(u(x, t) = \sum C_n u_n (x, t)\)
Verifica formalmente la parte homogénea, pues lo hacen todos sus términos. Para que se tenga:
    \(u(x, 0) = \sum C_n u_n (x, 0) = \sum C_n \sin nx = \sin ^3 x \)
Los valores Cn han de ser los coeficientes de Fourier de la función sen³ x desarrollada en serie de sen nx. Puede demostrarse que se tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \sin ^3 x = \frac{3}{4} \sin x - \frac{1}{4}\sin 3x \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow C_1 = \frac{3}{4} ; C_3 = - \frac{1}{4} ; C_2 = C_4 = ... = 0 \end{array} \)
La solución final es entonces:
    \( \displaystyle u(x, t) = \frac{3}{4} \sin x e^{-kt} - \frac{1}{4}\sin 3x e^{- 9kt}\)
Y al ser suma finita, es una función solución del problema.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás