Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Reducir a dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una de ellas con un problema de autovalores y la otra con una condición inicial y hallar las soluciones particulares, la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - t^2· \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} - u = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \; \; ; \; \; t > 0 \; \; ; \; \; u(0, t) = 0 \; \; ; \; \; u(1, t) = 0\)

- Respuesta 22

Escribimos:

\( u(t, x) = X(x)·T(t)\)

En la ecuación y las condiciones. De ese modo:

\(X·T ' - t^2X " · T - X·T \; \; \Rightarrow \; \; \displaystyle \frac{T '}{T} - t^2·\frac{X"}{X} - 1 = 0\)

\( X(0) · T(t) = 0 \; \; ; \; \; X(1) · T(t) = 0 \)

Dividiendo la ecuación por t², separando variables e igualando a – λ obtenemos los problemas:

\( \left. \begin{matrix} X" + \lambda·X = 0\; \; \\ \\ \; \; X(0) = X(1) = 0 \end{matrix}\right \} \; \; T' + (\lambda t^2 - 1)T = 0 \)

El problema para la variable X es un problema de valores propios. Puede comprobarse que si λ ≤ 0 sólo existe la solución X(x) = 0. Para λ = k² > 0 la solución general es de la forma:

\(X(x) = C_1 · \cos kx + C_2 · \sin kx \)

Teniendo en cuenta la condición X(0) = 0, obtenemos C₁ = 0 y por la condición X(1) = 0 resulta X(1) = C₂•sen k = 0.
Si deseamos obtener soluciones distintas de X(x) = 0, con C₂ distinto de cero y para que sen k = 0 ponemos:

\(k = n \pi \; \; ; \; \; n = 1, 2, 3... \; \; \; ; \; \; n \neq 0 \; \; \) por ser \( \lambda \neq 0\)

Para cada valor de n, entero positivo, existe una solución del problema, es decir:

\(X(x) = \sin n \pi ·x \; \; ; \; \; n = 1,2,3, ...\)

Cualquier múltiplo:

\(X(x) = C_n · \sin n \pi ·x \; \; ; \; \; n = 1,2,3, ...\)

Es también solución porque la ecuación y las condiciones de contorno son homogéneas (recordamos que se tiene X(0) = X(1) = 0)

Con los valores de λ resultantes, la ecuación en T(t) queda:

\( T'(t) + (n^2 \pi ^2 · t^2 - 1)T(t) = 0\)

Que tiene como soluciones:

\( T_n(t) = \exp \left(t - \frac{n^2 \pi ^2}{3}t^3\right)\)

De ese modo, las funciones:

\( U_n(x, t) = \exp \left(t - \frac{n^2 \pi ^2}{3}t^3\right) · \sin n \pi · x\)

Son soluciones del problema de partida.