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Ejercicios
de ecuaciones en derivadas
parciales
Reducir a dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una de ellas
con un problema de autovalores y la otra con una condición
inicial y hallar las soluciones particulares, la siguiente ecuación
diferencial en derivadas parciales
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - t^2· \frac{\partial
^2 u}{\partial x^2} - u = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \; \; ;
\; \; t > 0 \; \; ; \; \; u(0, t) = 0 \; \; ; \; \; u(1, t)
= 0\)
- Respuesta 22
Escribimos:
En la ecuación y las condiciones. De ese modo:
\(X·T ' - t^2X " · T - X·T \; \; \Rightarrow \; \; \displaystyle
\frac{T '}{T} - t^2·\frac{X"}{X} - 1 = 0\)
\( X(0) · T(t) = 0 \; \; ; \; \; X(1) · T(t) = 0 \)
Dividiendo la ecuación por t², separando variables
e igualando a – λ obtenemos los
problemas:
\( \left. \begin{matrix} X" + \lambda·X = 0\; \; \\ \\ \; \;
X(0) = X(1) = 0 \end{matrix}\right
\} \; \; T' + (\lambda t^2 - 1)T = 0
\)
El problema para la variable X es un problema de valores propios.
Puede comprobarse que si λ ≤ 0 sólo existe la
solución X(x) = 0. Para λ = k² > 0 la solución
general es de la forma:
\(X(x) = C_1 · \cos kx + C_2 · \sin kx \)
Teniendo en cuenta la condición X(0) = 0, obtenemos C1
= 0 y por la condición X(1) = 0 resulta X(1) = C2•sen
k = 0.
Si deseamos obtener soluciones distintas de X(x) = 0, con C2
distinto de cero y para que sen k = 0 ponemos:
\(k = n \pi \; \; ; \; \; n = 1, 2, 3... \; \; \; ; \; \; n \neq
0 \; \; \) por ser \( \lambda \neq 0\)
Para cada valor de n, entero positivo, existe una solución
del problema, es decir:
\(X(x) = \sin n \pi ·x \; \; ; \; \; n = 1,2,3, ...\)
Cualquier múltiplo:
\(X(x) = C_n · \sin n \pi ·x \; \; ; \; \; n = 1,2,3, ...\)
Es también solución porque la ecuación y
las condiciones de contorno son homogéneas (recordamos
que se tiene X(0) = X(1) = 0)
Con los valores de λ resultantes, la ecuación
en T(t) queda:
\( T'(t) + (n^2 \pi ^2 · t^2 - 1)T(t) = 0\)
Que tiene como soluciones:
\( T_n(t) = \exp \left(t - \frac{n^2 \pi ^2}{3}t^3\right)\)
De ese modo, las funciones:
\( U_n(x, t) = \exp \left(t - \frac{n^2 \pi ^2}{3}t^3\right)
· \sin n \pi · x\)
Son soluciones del problema de partida.
EJERCICIOS-ECUACIONES
EN DERIVADAS PARCIALES |
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