PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 22

Escribimos:
    \( u(t, x) = X(x)·T(t)\)
En la ecuación y las condiciones. De ese modo:
    \(XT ' - t^2X " T - XT \; \; \Rightarrow \; \; \displaystyle \frac{T '}{T} - t^2\frac{X"}{X} - 1 = 0\)

    \( X(0) T(t) = 0 \; \; ; \; \; X(1) T(t) = 0 \)
Dividiendo la ecuación por t², separando variables e igualando a – λ obtenemos los problemas:
    \( \left. \begin{matrix} X" + \lambdaX = 0\; \; \\ \\ \; \; X(0) = X(1) = 0 \end{matrix}\right \} \; \; T' + (\lambda t^2 - 1)T = 0 \)

El problema para la variable X es un problema de valores propios. Puede comprobarse que si λ ≤ 0 sólo existe la solución X(x) = 0. Para λ = k² > 0 la solución general es de la forma:
    \(X(x) = C_1 \cos kx + C_2 \sin kx \)
Teniendo en cuenta la condición X(0) = 0, obtenemos C1 = 0 y por la condición X(1) = 0 resulta X(1) = C2•sen k = 0.
Si deseamos obtener soluciones distintas de X(x) = 0, con C2 distinto de cero y para que sen k = 0 ponemos:
    \(k = n \pi \; \; ; \; \; n = 1, 2, 3... \; \; \; ; \; \; n \neq 0 \; \; \) por ser \( \lambda \neq 0\)
Para cada valor de n, entero positivo, existe una solución del problema, es decir:
    \(X(x) = \sin n \pi x \; \; ; \; \; n = 1,2,3, ...\)
Cualquier múltiplo:
    \(X(x) = C_n \sin n \pi x \; \; ; \; \; n = 1,2,3, ...\)
Es también solución porque la ecuación y las condiciones de contorno son homogéneas (recordamos que se tiene X(0) = X(1) = 0)

Con los valores de λ resultantes, la ecuación en T(t) queda:
    \( T'(t) + (n^2 \pi ^2 t^2 - 1)T(t) = 0\)
Que tiene como soluciones:
    \( T_n(t) = \exp \left(t - \frac{n^2 \pi ^2}{3}t^3\right)\)
De ese modo, las funciones:
    \( U_n(x, t) = \exp \left(t - \frac{n^2 \pi ^2}{3}t^3\right) · \sin n \pi · x\)
Son soluciones del problema de partida.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás