PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Resolver la siguiente ecuación diferencial:
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 z}{\partial x \partial y} = x^2y\)
Y encontrar la solución particular tal que:
    \(z'(x, 0) = x^2 \; \; ; \; \; z(1, y) = \cos y\)
- Respuesta 21

Para resolver el problema escribimos:
    \( (D_x D_y) z = x^2 y \; \; \Rightarrow \; \; (D_x - 0)(D_y - 0)z = x^2 y\)
Para la solución de la ecuación homogénea tenemos:
    \( (D_x - 0)(D_y - 0)z_h = 0 \; \; \Rightarrow \; \; z_h = \Phi (x) + \Psi (y) \)
Para obtener una solución particular de la completa, hacemos:
    \( (D_x - 0)(D_y - 0)z_h = x^2y \; \; ; \; \; (D_x - 0)u_p = x^2y \; \) con

    \( u_p = (D_y - 0)z_p \)
Y para la ecuación resultante:
    \( \displaystyle u'_{px} = x^2y\; \; \Rightarrow \; \; u_p = \frac{1}{3}x^3y \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle (D_y - 0)z_p = \frac{1}{3}x^3y \; \; \Rightarrow \; \; z_p = \frac{1}{6}x^3y^2 \)
Con lo que, finalmente:
    \( \displaystyle z = \Phi (x) + \Psi (y) + \frac{1}{6}x^3y^2\)
Para encontrar la solución particular que verifique la condición del enunciado, hacemos:
    \( z'(0, x) = \Phi (x) = x^2\)
    \( \displaystyle z(1, y) = \Phi (1) + \Psi (y) + \frac{1}{6}y^2 = \cos y \; \; ; \; \; \Psi (y) = \cos y - 1 - \frac{1}{6}y^2 \)

Con lo que finalmente resultará:
    \( \displaystyle z(x, y) = x^2 + \cos y - 1 - \frac{1}{6}y^2 + \frac{1}{6}x^3y^2 \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás