PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Resolver la ecuación:
    \(\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial y} = 0\)
Sabiendo que pasa por la curva \( x = 0 \; ; \; z = y^2 \).

- Respuesta 20


Podemos plantea las igualdades:
    \(\displaystyle \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{y} = \frac{dz}{0}\)
Con lo que tenemos:
    \(dz = 0 \; \; \Rightarrow \; \; z = C_1\)

    \(\displaystyle \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{y} \; \; \Rightarrow \; \; \ln x = - \ln y + \ln C_2 \; \; \Rightarrow \; \; C_2 = xy\)
En este caso, si damos a x el valor 0, se anula C2 y no podemos continuar. Hacemos entonces:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{y} \; \; \Rightarrow \; \; \frac{2xdx}{x^2} = - \frac{2ydy}{y^2} \; \; \Rightarrow \\  \\ \frac{2xdx}{x^2} + \frac{2ydy}{y^2} = 0 \end{array} \)
Y sumando proporcionalmente:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{2xdx + 2ydy }{x^2 + y^2} = 0 \; \Rightarrow \; \frac{d\left(x^2 + y^2\right)}{x^2 + y^2} \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \ln \left(x^2 + y^2\right) = \ln C_2 \; \Rightarrow \; x^2 + y^2 = C_2 \end{array} \)
Tenemos entonces para la situación del problema (x = 0 ; z = y²):
    \(C_1 = z = y^2 \; \; ; \; \; C_2 = x^2 + y^2 = y^2 \; \; \Rightarrow \; \; C_1 = C_2 \)
Y pasando de nuevo a la ecuación general:
    \(C_1 = z = C_2 = x^2 + y^2 \; \; \Rightarrow \; \; z = x^2 + y^2 \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás