PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Comprobar que la solución de la ecuación:
    \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = z^2\)
Que pasa por x = t ; y = - t ; z = t, se hace infinita en la curva \( x^2 - y^2 = 4 \)

- Respuesta 19


Podemos escribir:
    \(\displaystyle \frac{dx}{1} = \frac{dy}{1} = \frac{dz}{z^2}\)
Y a partir de ahí tenemos:
    \(dx = dy \; \; \Rightarrow \; \; x = y + C_1 \; \; \Rightarrow \; \; x - y = C_1 \)

    \( \displaystyle dx = \frac{dz}{z^2} \; \; \Rightarrow \; \; x = - \frac{1}{z} + C_2 \; \; \Rightarrow \; \; C_2 = x + \frac{1}{z}\)
La solución general de la ecuación será cualquier función arbitraria de C1 y C2:
    \(\varphi\left[(x-y) \; \; , \; \; \left(x + (1/z)\right) \right] = 0\)
La solución concreta que pasa por el punto indicado será:
    \( \left. \displaystyle \begin{matrix} C_1 = x - y = 2t \; \; \\ \\ \; \; C_2 = x + \frac {1}{z} = t + \frac {1}{t} \end{matrix}\right \} \; \; \displaystyle C_2 = \frac {C_1}{2} + \frac {2}{C_1} \)
Y sustituyendo en la expresión general:
    \(\displaystyle C_2 = x + \frac{1}{z} = \frac {C_1}{2} + \frac {2}{C_1} = \frac{x-y}{2} + \frac{2}{x-y}\)
En estas expresiones podemos despejar z en función de x e y:
    \(\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{x-y}{2} + \frac{2}{x-y} - x \; \; \Rightarrow \; \; z = \frac{2(x-y)}{x^2 - y^2 -4}\)
Y vemos que z se hace infinita a lo largo de la curva \(x^2 - y^2 -4 = 0 \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás