PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 18

Por teoría sabemos que se cumple:
    \(\displaystyle \frac{dx}{\left(x^2 - y^2 - z^2\right)} = \frac{dy}{2xy} = \frac{dz}{2xz}\)
Y tomando los dos últimos términos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{dy}{2xy} = \frac{dz}{2xz} \; \; \Rightarrow \; \; \frac{dy}{y} = \frac{dz}{z} \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \ln y = \ln z + \ln C_1 \; \; \Rightarrow \; \; C_1 = \frac{y}{z} \end{array} \)
Por otra parte, también podemos escribir:
    \(\displaystyle \frac{xdx}{\left(x^2 - y^2 - z^2\right)x} = \frac{ydy}{2xy^2} = \frac{zdz}{2xz^2} = \frac{dz}{2xz}\)
Y teniendo en cuenta que podemos sumar miembro a miembro las igualdades proporcionales, obtendremos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dz}{2xz} = \frac{xdx + ydy + zdz}{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)x} \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; \frac{dz}{z} = \frac{2xdx + 2ydy + 2zdz}{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)} \end{array} \)
De donde resulta:
    \(\displaystyle \frac{dz}{z} = \frac{d \left(x^2 + y^2 + z^2\right)}{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)} \; \; \Rightarrow \)

    \(\displaystyle \ln z + \ln C_1 = \ln \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \; \; ; \; \; \frac{ \left(x^2 + y^2 + z^2\right)}{z} = C_2 \)
En estas condiciones, el haz de curvas buscado será el dado por C1 y C2 y la solución de la ecuación diferencial será una relación arbitraria entre ellas, es decir:
    \(\varphi\left[y/z \; \; , \; \; \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \right] = 0\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás