PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 17

Tomando una función de la forma u(x, y) = X(x)•Y(y) y sustituyendo en la ecuación dada:
    \( \displaystyle Y(y)\frac{d X}{dx} = 4X(x)\frac{d Y}{dy} \; \; \Rightarrow \; \; \frac{X'}{X} = 4 \frac{Y'}{Y}\)
Puesto que en la última ecuación el primer miembro sólo depende de x y el segundo es independiente de x, podemos igualar ambas a una constante y escribir:
    \( \displaystyle \frac{X'}{X} = 4 \frac{Y'}{Y} = - \lambda\)
De donde resultan las ecuaciones:
    \( X' + \lambda ·X = 0 \displaystyle \; \; \Rightarrow \; \; Y' + \frac{\lambda}{4}Y = 0 \)
La primera tiene como solución general:
    \( \begin{array}{l} X' + \lambda X = 0 \; \; ; \; \; \displaystyle \frac{d X}{X} + \lambda dx = 0 \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \ln X + \lambda x = \ln C_1 \; \; \Rightarrow \; \; X = C_1 e^{- \lambda x} \end{array}\)
Y para la segunda obtenemos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} Y' + \frac{\lambda}{4}Y = 0 \; \; ; \; \; \frac{d Y}{Y} + \frac{\lambda}{4} dy = 0 \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \ln Y+ \frac{\lambda}{4} y = \ln C_2 \; \; \Rightarrow \; \; Y = C_2 e^{- (\lambda/4) y} \end{array} \)
De ahí que la solución general del problema que nos ocupa sea:
    \(\begin{array}{l} u(x, y) = X(x)Y(y) = \\  \\ = \left(C_1 e^{- \lambda x}\right)\left(C_2 e^{- (\lambda/4) y}\right) = Ke^{\lambda(x + \frac{1}{4}y)} \end{array}\)
Pero teniendo en cuenta la condición del enunciado:
    \( u(0, y) = 8·e^{-3y} = Ke^{- \lambda(\frac{1}{4}y)}\)
Podemos deducir:
    \( K = 8 \; \; ; \; \; - \lambda( \frac{1}{4}y) = - 3y \; \; \Rightarrow \; \; \lambda = 12 \)
Por lo que, finalmente, tendremos:
    \( u(x, y) = 8 e^{-(12x + 3y)}\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás