PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 16

Podemos poner la ecuación dada como:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \left(D_t^2 - D_x^2\right)u = 0 \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; \left(D_t - D_x\right)\left(D_t + D_x\right)u \end{array} \)
Lo cual nos da una solución general de la forma:
    \(u(x, t) = \phi_1(x+t) + \phi_2(x-t)\)
Puesto que los datos iniciales se dan sólo en el intervalo [0 , 1] y deseamos obtener la solución para todo valor (x , t), hemos de extender estos datos iniciales según sean las condiciones de contorno. Puesto que los extremos x = 0 ; x = 1 han de permanecer fijos, hemos extender los datos en forma impar tanto en el entorno de x = 0 como en el entorno de x = 1. En este caso tenemos que la función f(x) = sin πx definida en el intervalo indicado, puede extenderse a toda la recta real definida en \( - \infty < x < +\infty\) mediante una función f(x) = sin πx de la misma forma que la función u(x , 0) porque la función sin πx con x perteneciente a R ya es impar en el entorno de x = 0 y x = 1. En efecto, tenemos:
    \(\begin{array}{l} \sin \pi(-x) = - \sin \pi x \\  \\ \sin \pi(2-x) = \sin 2\pi \cos \pi x - \cos 2\pi \sin \pi x = - \sin \pi x \end{array}\)
Así pues, en base a las condiciones iniciales dadas, podemos poner
    \( \begin{array}{l} u(x, 0) = \phi_1(x) + \phi_2(x) = \sin \pi x \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; u'_x(x, 0) = \phi'_1(x) + \phi'_2(x) = \cos \pi x \\  \\ u(x, t) = \phi_1(x+t) + \phi_2(x-t) \; \; \\  \\ \Rightarrow \; \; u'_x(x, t) = \phi'_1(x+t) + \phi'_2(x-t) \; \; \Rightarrow \; \; \\  \\ \Rightarrow \; \; u'_x(x, 0) = \phi'_1(x) + \phi'_2(x) = 0 \end{array} \)
Sumando las dos expresiones o restando la segunda de ellas, resulta respectivamente:
    \(\begin{array}{l} 2 \phi'_1(x) = \cos \pi x \; \; \Rightarrow \; \; \displaystyle \phi'_1(x) = \frac{1}{2} \cos \pi x \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; \phi_1(x) = \frac{1}{2} \sin \pi x \\  \\ 2 \phi'_2(x) = \cos \pi x \; \; \Rightarrow \; \; \displaystyle \phi'_2(x) = \frac{1}{2} \cos \pi x \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; \phi_2(x) = \displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x \\ \end{array}\)

    \(\)
Por lo que, finalmente:
    \( u(x, t) = \phi_1(x+t) + \phi_2(x-t) = \)

    \( \displaystyle \frac{1}{2}\left[ \sin \pi (x+t) + \sin \pi (x-t)\right] = \sin(\pi x)\cos (\pi x) \)
Y la solución es válida para todo x en el intervalo cerrado [0 , 1] y para t mayor o igual que 0 como pedía el enunciado.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás