PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Demostrar que el problema
    \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left((1+x^2)\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left((1+x^2+y^2)\frac{\partial u}{\partial y}\right) - e^xu = 1\)
Para \(x^2 + y^2 < 2 \; y \; u = e^y \; para \; x^2 + y^2 = 2 \), tiene a lo sumo una solución.

- Respuesta 15


Sea v la diferencia entre dos soluciones. Tenemos
    \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(1+x^2\right)\frac{\partial v}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(1+x^2 + y^2 \right)\frac{\partial v}{\partial y}\right] - e^x v = 0\)
Para x² + y² < 2 y v = 0 para x² + y² = 2.

Multiplicando esta ecuación diferencial por v, integrando sobre x² + y² < 2 y aplicando el teorema de la divergencia, resulta
    \( \displaystyle \iint \limits _{x^2 + y^2 < 2} v \left[\frac{\partial}{\partial x}\left[\left(1+x^2\right)\frac{\partial v}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(1+x^2 + y^2 \right)\frac{\partial v}{\partial y}\right] - e^x v \right]dxdy = \)

    \( = \displaystyle \oint \limits _{x^2 + y^2 = 2} \left[v\left[\left(1+x^2\right)\frac{\partial v}{\partial x}\right]\eta_x + v\left[\left(1+x^2 + y^2 \right)\frac{\partial v}{\partial y}\right]\eta_y\right]dS - \)

    \( - \displaystyle \iint \limits _{x^2 + y^2 < 2} \left[\left(1+x^2\right)\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + \left(1+x^2 + y^2 \right) \left (\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 - e^x v^2 \right]dxdy \)
Pero al ser el primer miembro 0 en x² + y² < 2 y v = 0 en x² + y² = 2, nos queda
    \( - \displaystyle \iint \limits _{x^2 + y^2 < 1} \left[\left(1+x^2\right)\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + \left(1+x^2 + y^2 \right) \left (\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 - e^x v^2 \right]dxdy = 0\)
Y puesto que el integrando es no negativo debe ser idénticamente nulo; en consecuencia, cada uno de los sumandos será nulo y tendremos v = 0 en x² + y² < 0 y la solución del problema es única.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás