PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 14

Las ecuaciones diferenciales ordinarias que proporcionan las características son:
    \( \displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \; \; ; \; \; \frac{dx}{dt} = \frac{B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \)
Para cada apartado tenemos:
Primero
A = 1 ; B = 0 ; C = -t → B² – 4AC = 4t
    \( \displaystyle \frac{B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \sqrt{t} \; \; ; \; \; \frac{B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = - \sqrt{t} \)
Resultando de ahí
    \( \displaystyle\frac{dx}{dt} = + \sqrt{t} \; \; \Rightarrow \; \; dx = + \sqrt{t}dt \; \; \Rightarrow \; \; x = +\frac{2}{3}t^{3/2} + C_1\)

    \( \displaystyle \frac{dx}{dt} = - \sqrt{t} \; \; \Rightarrow \; \; dx = - \sqrt{t}dt \; \; \Rightarrow \; \; x = -\frac{2}{3}t^{3/2} + C_2\)
Y para el punto (0, 1) (x = 0 ; t = 1) tenemos C1 = - 2/3 ; C2 = 2/3, con lo cual:
    \( \displaystyle x_1 = +\frac{2}{3}t^{3/2} - \frac{2}{3}\; \; ; \; \; x_2 = -\frac{2}{3}t^{3/2} + \frac{2}{3}\)
Segundo
A = 1 ; B = 2ex ; C = e2x → B² – 4AC = 4e2x – 4e2x = 0
En este caso tenemos una sola familia de características:
    \( \displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{B}{2A} = e^x \; \; \Rightarrow \; \; e^{-x}dx = dt \; \; \Rightarrow \; \; - e^{-x} = t + C \)
Y para x = 0 , t = 1 resulta C = -2, de donde la característica será :t + e-x = 2 ;

Tercero
A = cos² x – sin² x ; B = 2.cos x ; C = 1 → B² – 4AC = 4.sin² x > 0 para x = k.p , con k = 0, 1, 2, …
Tenemos entonces las familias:
    \( \displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{2 \cos x - 2 \sin x}{2 \big ( \cos ^2 x - \sin ^2 x\big )} = \frac{1}{\cos x + \sin x}\)

    \( \displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{2 \cos x + 2 \sin x}{2 \big ( \cos ^2 x - \sin ^2 x\big )} = \frac{1}{\cos x - \sin x}\)
La primera de estas ecuaciones nos da
    \( \displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\cos x + \sin x} \; \; \Rightarrow \; \; \sin x - \cos x = t + C_1 \)
Y para x = 0, t = 1 es C = -2, de donde:
    \( x_1 \equiv \sin x - \cos x = t - 2\)
De la segunda ecuación resulta:
    \( \displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\cos x - \sin x} \; \; \Rightarrow \; \; \sin x + \cos x = t + C_2 \)
Y para x = 0, t = 1 es C = 0, con lo cual:
    \( x_2 \equiv \sin x + \cos x = t\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás