PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Hallar donde son hiperbólicos, parabólicos y elípticos los siguientes operadores.
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + t \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + x \frac{\partial u}{\partial x} \)

    \(\displaystyle x^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } + u \)

    \(\displaystyle t^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} + x \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial x} \)
- Respuesta 13

Sólo hemos de considerar los términos de segundo orden. Tenemos entonces.

Primer caso
    \( A(x,t) = 1 \; ; \; B(x,t) = 0 \; ; \; C(x,t) = t \rightarrow B² – 4AC = - 4t \)
Tenemos entonces que en el semiplano t > 0 el operador es elíptico; en toda la recta t = 0 es parabólico y en el semiplano t < 0 es hiperbólico.

Segundo caso
    \( A(x,t) = x^2 \; ; \; B(x,t) = 0 \; ; \; C(x,t) = -1 \rightarrow B^2 - 4AC = 4x^2 \)
En este caso tenemos que para la recta x = 0 (eje t) el operador es parabólico; en el resto del plano es hiperbólico.

Tercer caso
    \(A(x,t) = t^2 \; ; \; B(x,t) = 2 \; ; \; C(x,t) = \rightarrow B^2 - 4AC = 4 – 4xt \)
Y los resultados vienen reflejados en la figura adjunta.

región de existencia de soluciones de ecuación en derivadas parciales
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás