PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Obtener la ecuación de las características de las siguientes ecuaciones:
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 3 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + 2\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 4 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + 5 \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0 \)
- Respuesta 12

Primero clasificamos cada una de las ecuaciones. Para la primera tenemos:
A = 1 ; B = 2 ; C = 1 → B² – 4AC = 0. Ecuación parabólica.
Un operador parabólico tiene sólo una familia de características ξ = cte. ; en este caso resulta:
ξ = 2Ax – By = 2x – 2y = K → x – y = C
Para la segunda tenemos:
A = 2 ; B = 3 ; C = 1 → B² – 4AC = 1. Ecuación hiperbólica
En este caso tenemos dos familias de características.
    \( \xi = 2Ax + \left[-B + \sqrt{B^2 - 4AC}\right]y = 4x - 2y \; \; \Rightarrow \; \; 2x - y = k_1\)

    \( \eta = 2Ax + \left[-B - \sqrt{B^2 - 4AC}\right]y = 4x - 4y \; \; \Rightarrow \; \; x - y = k_2\)
Para la tercera tenemos
A = 5 ; B = 4 ; C = 1 → B² – 4AC = -4 < 0. Ecuación elíptica.
En este caso la ecuación no posee características reales.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás