PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 11

Veamos de que tipo es cada uno de los operadores:
1º) B² – 4AC = 1 + 4x2x1 = 9 → hiperbólico

2º) B² – 4AC = 1 - 4x1x1 = -3 → elíptico

1º) B² – 4AC = 4 - 4x1x1 = 0 → parabólico
Para desarrollar la primera transformación, consideramos el cambio:
    \( \begin{array}{l} \xi = 2Ax + \left[-B + \sqrt{B^2 - 4AC}\right]t \\  \\ \eta = 2Ax + \left[-B - \sqrt{B^2 - 4AC}\right]t \end{array}\)
Con lo que tenemos:
    \( \left. \begin{matrix} \xi = - 4x + 2t \\ \eta = - 4x - 4t \end{matrix}\right \} \displaystyle \left \{ \begin{matrix} x = \frac{2\xi + \eta}{12} \\ t = \frac{\xi - \eta}{6} \end{matrix}\right. \)
Y la forma canónica del operador será:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} - 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} \; \; \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \; \; - 4A(B^2 - 4AC)\frac{\partial ^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 72 \frac{\partial ^2 u}{\partial \xi \partial \eta}
    \end{array}\)
Por otro lado, las derivadas de u en función de las distintas variables, son:
    \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi}(-4) + \frac{\partial u}{\partial \eta}(-4)= - 4\left(\frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\right)\)

    \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi}(2) + \frac{\partial u}{\partial \eta}(-4)= 2\left(\frac{\partial u}{\partial \xi} - 2\frac{\partial u}{\partial \eta}\right)\)
Por lo que la ecuación dada se escribirá
    \( \displaystyle 72 \frac{\partial ^2 u}{\partial \xi \partial \eta} - 28\left(\frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\right) - 16\left(\frac{\partial u}{\partial \xi} - 2\frac{\partial u}{\partial \eta}\right) + \exp\left[\frac{2\xi + \eta}{12} \frac{\xi - \eta}{6} \right] = 0 \)
Y simplificando:
    \( \displaystyle 72 \frac{\partial ^2 u}{\partial \xi \partial \eta} - 44\frac{\partial u}{\partial \xi} + 4 \frac{\partial u}{\partial \eta} + \exp\left[\frac{2\xi + \eta}{12} \frac{\xi - \eta}{6} \right] = 0 \)
Para la segunda transformación desarrollamos el cambio:
    \(\displaystyle \xi = \frac{2Ax - Bt}{\sqrt{4AC - B^2}} \; \; ; \; \; \eta = t \; \; \Rightarrow \; \; \xi = \frac{2x - t}{\sqrt{3}} \; \; ; \; \; \eta = t\)
Y puesto que no tenemos ningún término en derivadas de primer orden, podemos escribir:
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} - 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} \; \; \Rightarrow \; \; \left( \frac{\partial ^2 u}{\partial \xi^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial \eta^2}\right) = \frac{\partial ^2 u}{\partial \xi^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial \eta^2} = 0 \)
En el tercer ejemplo desarrollamos el cambio
    \( \xi = 2Ax - By = 2x - 2y \; \; ; \; \; \eta = y\)
Con lo que la parte de segundo orden de la ecuación se transforma en:
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} \equiv A\frac{\partial ^2 u}{\partial \eta^2} = \frac{\partial ^2 u}{\partial \eta^2} \)
Y para el resto de la ecuación tenemos las derivadas
    \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = 2 \frac{\partial u}{\partial \xi}\)

    \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \eta}\)
Por lo que, finalmente, nos queda:
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + 7 \frac{\partial u}{\partial x} - 8 \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial ^2 u}{\partial \eta^2} + 14 \frac{\partial u}{\partial \xi} - 8\frac{\partial u}{\partial \eta} = 0\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás