PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 49

Podemos escribir la matriz asociada a la forma dada en el enunciado como sigue:
    \( \Omega = \begin{pmatrix} 1 & -i & 0 \\ i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Y sus valores propios se pueden obtener mediante:
    \(\begin{array}{l}
    | \Omega - \lambda I | = 0 \Rightarrow - \lambda (1 - \lambda)^2 + \lambda = \lambda^2 (2 - \lambda) \; \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow\; \lambda _1 = \lambda_2 = 0 \; \; ; \; \; \lambda _3 = 2
    \end{array}\)

Estos valores propios coinciden con los valores propios de la matriz traspuesta que es con la que, en realidad tenemos que operar. Calculamos los vectores propios asociados a los distintos valores propios obtenidos . Para \( \lambda = 0 \)
    \( \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & i & 0 \\ -i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x +i y = 0 \; ; \; v_1 = (-i, 1, 0) \)
El segundo vector propio estará también asociado al autovalor \( \lambda = 0\) pero, a la vez, también será ortogonal a \( v_1 \); por lo tanto, habrá de cumplir:
    \( \left. \begin{array}{l} x + iy = 0 \\ \\ ix + y = 0\end{array}\right \} \; x = y = 0 \; ; \; v_2 = (0, 0, 1) = e_2\)
Por último, el tercero de los vectores propios estará asociado al valor propio \( \lambda = 2 \) y será ortogonal a los otros dos. Tenemos:
    \( \displaystyle \begin{pmatrix} -1 & i & 0 \\ -i & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \; v_3 = (i, 1, 0) \)
Los vectores unitarios que obtendremos serán:
    \( \displaystyle e_1 = \left(- \frac{i}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} , 0 \right) \; \; ; \; \; e_2 = \left( 0, 0 , 1 \right) \; \; ; \; \; e_3 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} , 0 \right) \)

La matriz de cambio será entonces:
    \( P = \displaystyle \begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \; \Rightarrow \; P\, ^{-1} = P\,^\ast = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\end{pmatrix} \)

Ya que tenemos:
    \( P \, ^\ast \Omega \,^t P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \phi (v) = 2 x_3 \bar{x}_3 = 2 |x_3 |^2 \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás