PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 50

La matriz asociada a la forma hermítica dada en el enunciado es:
    \( \Omega = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -3i \\ 0 & 1& 0 \\ 3i & 0 & -1 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; \Omega \, ^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3i \\ 0 & 1& 0 \\ - 3i & 0 & -1 \end{pmatrix} \)
Y sus valores propios asociados:
    \( \begin{array}{l}
    | | \Omega \, ^t - \lambda I | = 0 \Rightarrow (1 - \lambda)^2 (1 - \lambda) - 9(1 - \lambda) = \\
     \\
    = (1 - \lambda)( \lambda - 2)(\lambda + 4) = 0
    \end{array}\)
Calculamos los vectores propios asociados a los distintos auto valores obtenidos .

Para \( \lambda = 1 \)
    \( \displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3i \\ 0 & 0 & 0 \\ -3i & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x +i y = 0 \; ; \; x = z = 0 \; ; \; v_1 = (0 , 1, 0) \)
Para \( \lambda = 2 \)
    \( \displaystyle \begin{pmatrix} -3& 0 & 3i \\ 0 & -1 & 0 \\ -3i & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow y = 0 \; ; \; x = iz \; ; \; v_2 = (i , 0, 1) \)
Para \( \lambda = -4 \)
    \( \displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3i \\ 0 & 5 & 0 \\ -3i & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow 5 y = 0 \; ; \; x = -iz = 0 \; ; \; v_3 = (-i , 0, 1) \)
Y normalizando:
    \( \displaystyle e_1 = \left(0, 1, 0 \right) \; \; ; \; \; e_2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 , \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \; \; ; \; \; e_3 = \left( - \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 , \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \)

La matriz de cambio será entonces:
    \( P = \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}} \\ 1& 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; P\, ^{-1} = P\,^\ast = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - \frac{i}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \)
Y tendremos:
    \( P \, ^\ast \Omega \,^t P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \Rightarrow \phi (v) = | \tilde{x}_1|^2 + 2 | \tilde{x}_2 |^2 - 4 | \tilde{x}_3 |^2 \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás