PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 48

La forma dada en el enunciado tiene como matriz asociada:
    \( \Omega = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
Y los valores propios de esta matriz son:
    \( \begin{array}{l} | \Omega - \lambda I | = 0 \Rightarrow \lambda ^3 + 3 \lambda + 2 = 0 \; \ \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \lambda _1 = \lambda_2 = -1 \; \; ; \; \; \lambda _3 = 2 \end{array}\)

Con lo que los vectores propios asociados serán los que calculamos a continuación. Para \( \lambda = -1 \)
    \( \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x + y + z = 0 \; ; \; v_1 = (-1, 1, 0) \)
El segundo vector propio también estará asociado al valor propio \( \lambda = -1 \) pero, al mismo tiempo, será ortogonal al ya calculado, es decir, para que esté asociado a \(\lambda = -1 \; \Rightarrow x + y + z = 0 \) y para ser ortogonal al primer vector propio \(-x + y = 0 \); con todo ello \( v_2 = (1, 1, -2) \)

Por último, el tercer vector propio estará asociado a \( \lambda = 2 \) y será ortogonal a los otros dos:
    \( \displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \; v_3 = (1, 1, 1) \)
Normalizando los tres vectores obtenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    e_1 = \left(- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} , 0 \right) \; \; ; \; \; e_2 = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}} , - \frac{2}{\sqrt{6}} \right) \\
     \\
    e_3 = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{\sqrt{3}} \right)
    \end{array}\)

La matriz de cambio será entonces:
    \( P = \displaystyle \begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & - \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}\)

Y verificará:
    \( \begin{array}{l}
    P \, ^t \Omega \, P = P^{-1} \Omega P = \begin{pmatrix} -1& 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \phi (x) = - \tilde{x}^2 - \tilde{y}^2 + 2· \tilde{y}^2
    \end{array}\)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás