PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de Calculo vectorial

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 
Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 47

La matriz asociada a la forma dada en el enunciado resulta ser :
    \( \Omega = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}\)
Para obtener la transformación ortogonal que nos permite diagonalizar la forma dada, calculamos antes los valores propios de la matriz \( \Omega \):
    \( | \Omega - \lambda I | = 0 \Rightarrow \lambda ^2 + 4 \lambda - 21 = 0 \; \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1 = 3 \\ \\ \lambda _2 = -7 \end{array}\right. \)

Calculamos los vectores propios asociados. Para \( \lambda = 3 \) tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 4 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow - 2x + 4y = 0 \; ; \; w_1 = (2, 1) \; ; \; f_1 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}} , \; \frac{1}{\sqrt{5}}\right)
    \end{array}\)
Para \( \lambda = -7 \) resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow 4x + 2y = 0 \; ; \; w_2 = (1, -2) \; ; \; f_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}} , \; \frac{-3}{\sqrt{5}}\right)
    \end{array}\)
La matriz ortogonal de cambio será, entonces:
    \( P = \displaystyle \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{- 2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}\)
Y a partir de ahí:
    \( P \, ^t \Omega \, P = P^{-1} \Omega P = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -7 \end{pmatrix} \Rightarrow \phi (x) = 3\tilde{x}^2 - 7 \tilde{y}^2 \)
La forma estudiada no es definida positiva puesto que se tiene \( sig \, \phi = (1, 1) \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás