Ejercicios de cálculo vectorial
Obtener la transformación ortogonal que diagonaliza la forma
dada por la ecuación adjunta:
\( \phi(x) = x^2 + 8xy - 5y^2\)
- Respuesta del
ejemplo 47
La matriz asociada a la forma dada en el enunciado resulta ser
:
\( \Omega = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}\)
Para obtener la transformación ortogonal que nos permite
diagonalizar la forma dada, calculamos antes los valores propios
de la matriz \( \Omega \):
\( | \Omega - \lambda I | = 0 \Rightarrow \lambda ^2 + 4 \lambda
- 21 = 0 \; \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1 = 3 \\ \\ \lambda
_2 = -7 \end{array}\right. \)
Calculamos los vectores propios asociados. Para \( \lambda =
3 \) tenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 4 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow - 2x + 4y = 0 \; ; \; w_1 = (2, 1) \; ; \; f_1 =
\left(\frac{2}{\sqrt{5}} , \; \frac{1}{\sqrt{5}}\right)
\end{array}\)
Para \( \lambda = -7 \) resulta:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow 4x + 2y = 0 \; ; \; w_2 = (1, -2) \; ; \; f_2 =
\left(\frac{1}{\sqrt{5}} , \; \frac{-3}{\sqrt{5}}\right)
\end{array}\)
La matriz ortogonal de cambio será, entonces:
\( P = \displaystyle \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} &
\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{- 2}{\sqrt{5}}
\end{pmatrix}\)
Y a partir de ahí:
\( P \, ^t \Omega \, P = P^{-1} \Omega P = \begin{pmatrix} 3 &
0 \\ 0 & -7 \end{pmatrix} \Rightarrow \phi (x) = 3ˇ\tilde{x}^2
- 7ˇ \tilde{y}^2 \)
La forma estudiada no es definida positiva puesto que se tiene \(
sig \, \phi = (1, 1) \)