Ejercicios de cálculo vectorial

Calcular la transformación ortogonal que nos permite diagonalizar la siguiente forma:

\( \phi(x) = 2x^2 - 6xy + 10y^2\)

- Respuesta del ejemplo 46

La matriz asociada a la forma planteada en el enunciado es :

\( \Omega = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 10 \end{pmatrix}\)

Para hallar la transformación ortogonal que diagonaliza dicha forma debemos calcular los valores propios de la matriz \( \Omega \):

\( | \Omega - \lambda I | = 0 \Rightarrow \lambda ^2 - 12 \lambda + 11 = 0 \; \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1 = 1 \\ \\ \lambda _2 = 11 \end{array}\right. \)

Los vectores propios asociados a estos autovalores serán. Para \( \lambda _1 \) :

\( \displaystyle\begin{array}{l} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow x - 3y = 0 \; ; \; v_1 = (3, 1) \; ; \; e_1 = \left(\frac{3}{\sqrt{10}} , \; \frac{1}{\sqrt{10}}\right) \end{array} \)

Para el otro valor propio tenemos:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \begin{pmatrix} -9& -3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow 3x + y = 0 \; ; \; v_2 = (1, -3) \; ; \; e_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{10}} , \; \frac{-3}{\sqrt{10}}\right) \end{array} \)

Por lo tanto, la matriz ortogonal de cambio será:

\( P = \displaystyle \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{- 1}{\sqrt{10}} \end{pmatrix}\)

Y se tendrá:

\( P \, ^t \Omega \, P = P^{-1} \Omega P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 11 \end{pmatrix} \Rightarrow \phi (x) = \tilde{x}^2 + 11· \tilde{y}^2 \)

La forma estudiada es definida positiva puesto que se tiene \( sig \, \phi = (2, 0) \)