PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Demuéstrese que el ángulo agudo formado por las dos superficies:
    \( 3x^2 + 4y^2 - z^2 = 7 \; \; ; \; \; x^2 - y^2 = z \)
En el punto (2, 1, 3) vale \( arc \; \cos (19/ \sqrt{1281} )\)

- Respuesta del ejemplo 45


El ángulo formado por dos superficies en un punto en el que son incidentes, se define como el ángulo que forman las normales a dichas superficies en ese punto; por lo tanto, para realizar el cálculo solicitado deberemos obtener previamente los vectores normales a las superficies dadas en el punto (2, 1, 3).

Sabemos por ejercicios anteriores que el gradiente de una superfice en un punto es un vector normal a dicha superficie; por lo tanto, tendremos:
    \( \displaystyle \hat{n}_1 = \frac{1}{|grad \, \phi_1|} \left[\frac{\partial \phi_1}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi_1}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi_1}{\partial z} \hat{k} \right] = \frac{ 6x· \hat{i} + 8y· \hat{j} - 2z· \hat{k}}{\sqrt{(6x)^2 + (8y)^2 + (-2z)^2}}\)
Y análogamente:
    \( \displaystyle \hat{n}_2 = \frac{1}{|grad \, \phi_2|} \left[\frac{\partial \phi_2}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi_2}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi_2}{\partial z} \hat{k} \right] = \frac{ 2x· \hat{i} - 2y· \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{(2x)^2 + (-2y)^2 + (- 1)^2}}\)

Y en el punto (2, 1, 3):
    \( \displaystyle \left. \hat{n}_1 \right|_p = \frac{ 12· \hat{i} + 8· \hat{j} - 6· \hat{k}}{2 \sqrt{61}} \; \; ; \; \; \left. \hat{n}_2 \right|_p = \frac{4· \hat{i} - 2· \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{21}}\)
Finalmente, para calcular el ángulo entre las dos superficies hacemos:
    \( \displaystyle \cos \theta = \left. \hat{n}_1 \right|_p \left. \hat{n}_2 \right|_p = \frac{ 12 \hat{i} + 8 \hat{j} - 6 \hat{k}}{2 \sqrt{61}} \times \frac{4 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{21}} = \frac{19}{\sqrt{1281}} \)
Y a partir de ahí obtenemos sin dificultad el valor buscado.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás