PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 44

Sabemos por ejercicios anteriores que la expresión del gradiente de una función \( \phi(x, y, z)\) se obtiene a partir de la ecuación:
    \( \displaystyle grad \, \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} \)
Por lo tanto, para el caso que estamos considerando:
    \( grad \, \phi = (6yx^2 - z^2) \hat{i} + 2x^3 \hat{j} - 2zx \hat{k} \)

Y tomando valores numéricos para el punto (1, 1, 1):
    \( grad \, \phi = 5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k} \)
Para la segunda parte del ejercicio, tenemos en cuenta que la derivada direccional de una función \( \phi (x, y, z)) \) en la dirección de un vector \( s \) se expresa en la forma:
    \( \displaystyle \frac{d \phi}{ds} = grad \, \phi \hat{s} \)
Siendo \(\hat{s} \) un vector unitario en la dirección de \( s \), que vale:
    \( \displaystyle \hat{s} = \frac{\vec{s}}{|\vec{s}|} = \frac{2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{ \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{ \sqrt{6}}\)
Y, por lo tanto:
    \( \displaystyle \frac{d \phi}{ds} = ( 5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) \left(\frac{2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{ \sqrt{6}}\right) = \frac{10}{\sqrt{6}} - \frac{2}{\sqrt{6}} - \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}\)
Para saber en que dirección será máxima la derivada direccional en el punto p = (1, 2, 3) sustituimos en la expresión algebraica del gradiente los valores de las coordenadas de dicho punto, es decir:
    \( grad \, \phi|_p = (6yx^2 - z^2) \hat{i} + 2x^3 \hat{j} - 2zx \hat{k}|_p = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 6 \hat{k}\)
Y el valor que toma dicho máximo vendrá dada por el módulo de este vector:
    \( \sqrt{3^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{49} = 7 \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás