PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 43

Para resolver el problema podemos considerar que las variables espaciales son función del tiempo, con lo que la variación de la temperatura podremose expresarla en función de la variación del tiempo, como sigue:
    \( \displaystyle \frac{d \phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial x}· \frac{dx}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial y}· \frac{dy}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial z}· \frac{dz}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \vec{v}·grad \, \phi \)
Y haciendo cálculos tenemos:
    \(\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t} = 3xyz + x \cos x t = 21 \; \; ; \; \; grad \, \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} =\)


    \(\displaystyle = (2xy + 3yzt + t \cos xt) \hat{i} + (x^2 + 3xzt) \hat{j} + (3xyt) \hat{k} = 6 \hat{i} + 4 \hat{j} \)

Y, por lo tanto:
    \(\displaystyle \frac{d \phi}{dt} =\frac{\partial \phi}{\partial t} + \vec{v}·grad \, \phi = 21 + (3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})·(6· \hat{i} + 4· \hat{j} ) = 35\)
Es el valor que estábamos buscando.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás