Ejercicios de cálculo vectorial

Calcular la rapidez de variación de la temperatura con respecto al tiempo y en el instante t = 0, que experimenta una partícula al pasar por un punto de coordenadas espaciales (3, 1, 2) con velocidad \( v = 3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k} \), sabiendo que en el punto \((x, y, z) \) la temperatura en el instante t viene dada por una función de la forma

\( \phi (x, y, z, t) = x^2y + 3 xyzt + \sin xt \)

- Respuesta del ejemplo 43

Para resolver el problema podemos considerar que las variables espaciales son función del tiempo, con lo que la variación de la temperatura podremose expresarla en función de la variación del tiempo, como sigue:

\( \displaystyle \frac{d \phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial x}· \frac{dx}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial y}· \frac{dy}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial z}· \frac{dz}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \vec{v}·grad \, \phi \)

Y haciendo cálculos tenemos:

\(\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t} = 3xyz + x \cos x t = 21 \; \; ; \; \; grad \, \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} =\)


\(\displaystyle = (2xy + 3yzt + t \cos xt) \hat{i} + (x^2 + 3xzt) \hat{j} + (3xyt) \hat{k} = 6 \hat{i} + 4 \hat{j} \)

Y, por lo tanto:

\(\displaystyle \frac{d \phi}{dt} =\frac{\partial \phi}{\partial t} + \vec{v}·grad \, \phi = 21 + (3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})·(6· \hat{i} + 4· \hat{j} ) = 35\)

Es el valor que estábamos buscando.