PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 42

El gradiente de una función y su módulo pueden obtenerse a partir de las ecuaciones:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} grad \, \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} \; \; ; \; \; |grad \phi | = \\  \\ = \sqrt{\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 +\left( \frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2} \end{array}\)

Con lo que operando y sustituyendo valores para el punto \(P = (1, 1, \sqrt{2}) \) :
    \( \displaystyle \left.grad \, \phi\right|_P = \left. \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} \right|_P = \left. 2x \hat{i} +2y \hat{j} + 2z \hat{k} \right|_P = 2 \hat{i} +2 \hat{j} + 2 \sqrt{2} \hat{k} \)


    \( \displaystyle \left.|grad \phi | \right|_P = \left. \sqrt{\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 +\left( \frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2} \right|_P = \sqrt {2^2 + 2^2 + 2 2^2} = 4 \)
Y el vector unitario normal vendrá dado por:
    \( \displaystyle \hat {n} = \frac{grad \phi_x}{|grad \phi |} \hat{i} + \frac{grad \phi_y}{|grad \phi |} \hat{j} + \frac{grad \phi_z}{|grad \phi |} \hat{k} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k} \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás