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DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Si el valor de una función \( \phi (x,y,z) \) viene dado por la ecuación:
    \(\phi (x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \)
Calcular \( grad \phi \) y \( |grad \phi |\) en el punto \( (1, 1, \sqrt{2}) \). A partir de ahí obtener el vector unitario normal a la superficie:
    \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \)
En el punto anterior

- Respuesta del ejemplo 42


El gradiente de una función y su módulo pueden obtenerse a partir de las ecuaciones:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} grad \, \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} \; \; ; \; \; |grad \phi | = \\  \\ = \sqrt{\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 +\left( \frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2} \end{array}\)

Con lo que operando y sustituyendo valores para el punto \(P = (1, 1, \sqrt{2}) \) :
    \( \displaystyle \left.grad \, \phi\right|_P = \left. \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} \right|_P = \left. 2x \hat{i} +2y \hat{j} + 2z \hat{k} \right|_P = 2 \hat{i} +2 \hat{j} + 2 \sqrt{2} \hat{k} \)


    \( \displaystyle \left.|grad \phi | \right|_P = \left. \sqrt{\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 +\left( \frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2} \right|_P = \sqrt {2^2 + 2^2 + 2 2^2} = 4 \)
Y el vector unitario normal vendrá dado por:
    \( \displaystyle \hat {n} = \frac{grad \phi_x}{|grad \phi |} \hat{i} + \frac{grad \phi_y}{|grad \phi |} \hat{j} + \frac{grad \phi_z}{|grad \phi |} \hat{k} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k} \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás