PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 41

Si \( r = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \) es el vector que indica la posición del punto p, entonces, un desplazamiento de valor \(ds\) en la dirección de \(\vec{a} \) vendrá dado por \(d\vec{r} = \hat{a} · ds \).

Donde hemos considerado el vector unitario \( \hat{a} \) para que concuerden las magnitudes consideradas en cada miembro de la igualdad.

Si recordamos que el vector gradiente de una función es normal a la superficie de nivel de una determinada magnitud, podemos escribir:
    \(dp = grad \, p · d\vec{r} \; \rightarrow \; dp = grad \, p · \hat{a} · ds \)
Y dividiendo por \(ds\):
    \(\displaystyle \frac{dp}{ds} = grad \, p · \hat{a} \)

Que es la expresión pedida en el primer apartado del ejercicio y que nos da la derivada direccional de p en la dirección \(\vec{a} \).

Como la ecuación anterior nos da la componente del vector \( grad \, p \) en la dirección de \(\vec{a} \), la velocidad de crecimiento máxima se obtiene cuando los vectores \(grad \, p \) y \(\hat{a} \) son paralelos.

La expresión general de la velocidad de la partícula, vendrá dada por \( v = ds/dt \), por lo que sustituyendo en la expresión de la derivada direccional:
    \(\displaystyle \frac{dp}{dt} = \frac{dp}{ds} · \frac{ds}{dt}= v · grad \, p · \hat{a} = \vec{v} ·grad \, p\)
siendo \( \vec{v} \) la velocidad de la partícula en la dirección indicada.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás