Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 10

Vamos a considerar los vectores F y r en coordenadas cartesianas:

\[\overrightarrow{F} = F_x· \hat{i} + F_y· \hat{j} + F_z· \hat{k} \qquad ; \qquad \vec{r} = x · \hat{i} + y · \hat{j} + z · \hat{k}\]
El producto escalar de estos dos vectores será:

\[\overrightarrow{F} · \vec{r} = F_x· x + F_y· y + F_z· z \]
Que es una función escalar para la que podemos definir el gradiente

\[ Grad \left(\overrightarrow{F} · \vec{r} \right) = Grad \left(F_x· x + F_y· y + F_z· z \right) \]
Pero si tenemos que F es constante, por hipótesis, resultará:

\[ Grad \left(\overrightarrow{F} · \vec{r} \right) = \frac{\partial \left(\vec{F} · \vec{r} \right)}{\partial x} · \hat{i} + \frac{\partial \left(\vec{F} · \vec{r} \right)}{\partial y} · \hat{j} + \frac{\partial \left(\vec{F} · \vec{r} \right)}{\partial z} · \hat{k} = F_x· \hat{i} + F_y· \hat{j} + F_z· \hat{k}\]