PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de Cálculo vectorial

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Ejercicios resueltos

 
Ejercicios de cálculo vectorial

¿En qué dirección, a partir del punto (1, 3, 2) es máxima la derivada de la función:
    \( \phi = 2 X Z - Y^2 \)
¿Cuál es la derivada de la función en la dirección 2.i – 3.j + 6.k en dicho punto?.

- Respuesta del ejemplo 9


Sabemos que la derivada direccional de una función es la componente del gradiente de la función a lo largo de un vector unitario en la dirección de dicha derivada.
Como se tiene que el gradiente de una función, en un punto, es constante, la derivada será máxima en la dirección del gradiente y, por lo tanto, valdrá:

\[ f'(\phi) = \nabla (\phi)_a = 4 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}\]
El valor de la derivada de la función dada en la dirección del vector 2.i – 3.j + 6.k, viene dado por la expresión:

\[ f'(a, \hat{u}) = \nabla \phi(a) \hat{u} = |\nabla \phi(a)| \cos \theta\]
Donde u es un vector unitario en la dirección del vector dado y θ el ángulo formado por el vector gradiente y dicho vector. Calculamos dicho ángulo:

\[ \cos \theta = \frac{(\nabla\phi) \overrightarrow{V}}{(\nabla\phi) |V|} = \frac{8+18+12}{\sqrt{49}\times \sqrt{56}} = \frac{38}{7\times\sqrt{56}}\]
De donde tenemos:

\[ f'(a, \hat{u}) =\sqrt{56} \times \frac{38}{7\times\sqrt{56}} = \frac{38}{7} \]
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás