Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 9

Sabemos que la derivada direccional de una función es la componente del gradiente de la función a lo largo de un vector unitario en la dirección de dicha derivada.
Como se tiene que el gradiente de una función, en un punto, es constante, la derivada será máxima en la dirección del gradiente y, por lo tanto, valdrá:

\[ f'(\phi) = \nabla · (\phi)_a = 4 · \hat{i} - 6 · \hat{j} + 2 · \hat{k}\]
El valor de la derivada de la función dada en la dirección del vector 2.i – 3.j + 6.k, viene dado por la expresión:

\[ f'(a, \hat{u}) = \nabla \phi(a) · \hat{u} = |\nabla \phi(a)|· \cos \theta\]
Donde u es un vector unitario en la dirección del vector dado y θ el ángulo formado por el vector gradiente y dicho vector. Calculamos dicho ángulo:

\[ \cos \theta = \frac{(\nabla\phi)· \overrightarrow{V}}{(\nabla\phi)· |V|} = \frac{8+18+12}{\sqrt{49}\times \sqrt{56}} = \frac{38}{7\times\sqrt{56}}\]
De donde tenemos:

\[ f'(a, \hat{u}) =\sqrt{56} \times \frac{38}{7\times\sqrt{56}} = \frac{38}{7} \]