Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 7

Sabemos que el gradiente de una función de superficie es perpendicular a dicha superficie en todo punto de ella. Por lo tanto, si consideramos un plano tangente a la superficie en el punto P₀, todo vector de dicho plano será perpendicular al gradiente de la función en el punto P₀; de ahí que podamos hacer:

\[\overrightarrow{V}· \left(\overrightarrow{\nabla}\phi\right)= 0\]
Siendo V un vector cualquiera del plano buscado. Tomando un punto genérico P, podemos considerar el vector :

\[\overrightarrow{P_0P} = (x-1)·\hat{i} + (y+1)·\hat{j}+ (z-2)·\hat{k}\]
Por otro lado, el gradiente de la función considerada vale en el punto (1, -1, 2):

\[\frac{\partial\phi}{\partial x} = 2 · Z^2 - 3 · Y - 4 \ \Rightarrow \ \left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)_{P_0} = 7 \]

\[\frac{\partial\phi}{\partial y} = - 3 · X \ \Rightarrow \ \left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)_{P_0} = -3 \]

\[\frac{\partial\phi}{\partial z} = 4 · X · Z \ \Rightarrow \ \left(\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)_{P_0} = 8\]
De donde se tiene:

\[\left(\overrightarrow{\nabla} \phi\right)_{P_0} = 7·\hat{i} - 3·\hat{j} + 8·\hat{k} \]
Con lo que podemos poner

\[\overrightarrow{P_0P} \left(\overrightarrow{\nabla} \phi\right)_{P_0} = (X-1) · 7 + (Y+1) · (-3) + (Z-2) · 8 \]
Haciendo operaciones y simplificando nos queda:

7.X – 3.Y + 8.Z – 26 = 0

Que es la ecuación del plano pedido.