PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 7

Sabemos que el gradiente de una función de superficie es perpendicular a dicha superficie en todo punto de ella. Por lo tanto, si consideramos un plano tangente a la superficie en el punto P0, todo vector de dicho plano será perpendicular al gradiente de la función en el punto P0; de ahí que podamos hacer:

\[\overrightarrow{V} \left(\overrightarrow{\nabla}\phi\right)= 0\]
Siendo V un vector cualquiera del plano buscado. Tomando un punto genérico P, podemos considerar el vector :

\[\overrightarrow{P_0P} = (x-1)\hat{i} + (y+1)\hat{j}+ (z-2)\hat{k}\]
Por otro lado, el gradiente de la función considerada vale en el punto (1, -1, 2):

\[\frac{\partial\phi}{\partial x} = 2 Z^2 - 3 Y - 4 \ \Rightarrow \ \left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)_{P_0} = 7 \]

\[\frac{\partial\phi}{\partial y} = - 3 X \ \Rightarrow \ \left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)_{P_0} = -3 \]

\[\frac{\partial\phi}{\partial z} = 4 X Z \ \Rightarrow \ \left(\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)_{P_0} = 8\]
De donde se tiene:

\[\left(\overrightarrow{\nabla} \phi\right)_{P_0} = 7\hat{i} - 3\hat{j} + 8\hat{k} \]
Con lo que podemos poner

\[\overrightarrow{P_0P} \left(\overrightarrow{\nabla} \phi\right)_{P_0} = (X-1) 7 + (Y+1) (-3) + (Z-2) 8 \]
Haciendo operaciones y simplificando nos queda:
7.X – 3.Y + 8.Z – 26 = 0
Que es la ecuación del plano pedido.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás