Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 4

En primer lugar obtenemos la resultante y el momento resultante del sistema. La resultante se obtiene sumando las coordenadas de los vectores equipolentes a los cursores dados:

\[\vec{R} = [(-3+2+4), (+2-3+0), (+5+2-3)] = (3, -1, 4) =3·\hat{i}- \hat{j}+ 4·\hat{k}\]
El momento resultante lo obtenemos sumando los momentos de los cursores:

\[\left|
\begin{array}{rrr}
\hat{ i} & \hat{ j} & \hat{ k} \\
0 & 1 & -2 \\
-3 & -2 & -5 \\
\end{array}
\right| = 9·\hat{i} + 6·\hat{j}+ 3 ·\hat{k}
\]

\[\left|
\begin{array}{rrr}
\hat{ i} & \hat{ j} & \hat{ k} \\
-1 & 1 & 1 \\
2 & -3 & 2 \\
\end{array}
\right| = 5·\hat{i} + 4·\hat{j}+ \hat{k}
\]


\[\left|
\begin{array}{rrr}
\hat{ i} & \hat{ j} & \hat{ k} \\
3 & 1 & 2 \\
4 & 0 & -3 \\
\end{array}
\right| = -3·\hat{i} + 17·\hat{j}+ 4·\hat{k}
\]

Sumando vectorialmente obtenemos el momento resultante:

\[\vec{M} = \left(9·\hat{i} + 6·\hat{j}+ 3·\hat{k}\right) + \left(5·\hat{i} + 4·\hat{j}+ \hat{k}\right) + \left(-3·\hat{i} + 17·\hat{j} - 4·\hat{k}\right) = 11·\hat{i} + 27·\hat{j}\]
Debemos hacer la observación de que el momento resultante ha de calcularse sumando los momentos de cada cursor respecto de su punto de aplicación.

La expresión del momento mínimo se obtiene mediante la ecuación:

\[\vec{m} =\frac{\vec{M}·\vec{R}}{R^2}·\vec{R} = \frac{3}{13}· \left(3·\hat{i} - \hat{j}+ 4·\hat{k}\right)\]
Y el eje central viene dado por la ecuación:

\[\frac{\vec{R}\land\vec{M}}{R^2} + \lambda·\vec{R} = \frac{2}{13}\left(-27·\hat{i} - 11·\hat{j}+ 23·\hat{k}\right) + \lambda\left(3·\hat{i} - \hat{j}+ 4·\hat{k}\right)\]