PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Hallar el área del triángulo que tiene por coordenadas cartesianas los puntos a(1, 3, 4) , b(-2, 1, -1) , c(0, -3, 2).

Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 3

El módulo del producto vectorial de dos vectores es numéricamente igual al área el paralelogramo que forman dichos vectores con las paralelas trazadas por sus extremos; por lo tanto, si dividimos por 2 dicho valor obtendremos el área del triángulo que forman dichos vectores.
Para obtener dos vectores a partir de las coordenadas dadas en el enunciado podemos hacer como en el problema número 2; de ese modo tendremos:

\[\begin{array}{l l}\overrightarrow{ab}& = & \left (b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3 \right ) = (-3, -2, -5)\\
\overrightarrow{ac}& = & \left ( (c_1-a_1, c_2-a_2, c_3-a_3 \right ) = (-1, -6, -2)\end{array}
\]
Desarrollando el producto vectorial de estos dos vectores:

\[\overrightarrow{ab} \land \overrightarrow{ac} = \left|
\begin{array}{ccc}
\hat{ i} & \hat{ j} & \hat{ k} \\
-3 & -2 & -5 \\
-1 & -6 & -2 \\
\end{array}
\right| = - 26\hat{i} - \hat{j}+ 16 \hat{k}
\]
El módulo del vector obtenido vale:

\[\begin{vmatrix}
\overrightarrow{ab} \land \overrightarrow{ac}\end{vmatrix} = \sqrt{26^2 + 1^2 + 16^2} = \sqrt{933}\]
y, por lo tanto, el área del triángulo valdrá :

\[A = \frac{1}{2}\sqrt{933} (unidades)^2\]
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás