Dados
tres puntos no alineados del espacio, calcular el vector unitario perpendicular
al plano formado por los puntos. Obtener también la ecuación
el plano que contiene a los tres puntos.
Tomando el punto a fijo, podemos considerar dos segmentos orientados:
Considerando estos dos segmentos como vectores podemos desarrollar su producto vectorial con lo que obtenemos un vector perpendicular al plano formado por dichos vectores.
siendo p un punto genérico del plano y
dos
parámetros escalares.
RespuestaConsideremos tres puntos a,b y c, de coordenadas respectivas:
Tomando el punto a fijo, podemos considerar dos segmentos orientados:
Considerando estos dos segmentos como vectores podemos desarrollar su producto vectorial con lo que obtenemos un vector perpendicular al plano formado por dichos vectores.
Si
dividimos la expresión obtenida por su módulo, obtenemos
el valor del vector unitario en dicha dirección:  Para obtener la ecuación del plano, recordamos que todo vector del mismo se puede expresar como combinación lineal de dos vectores que no sean linealmente dependientes, es decir: |
 |
siendo p un punto genérico del plano y
dos
parámetros escalares.
La ecuación del plano también se puede obtener teniendo
en cuenta que el producto mixto de tres vectores coplanarios es nulo.
De esa forma, desarrollando el determinante:
obtenemos la ecuación del plano considerado.