Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 2

Consideremos tres puntos a,b y c, de coordenadas respectivas:

\[a = \left (x_1, x_2, x_3 \right )\;;\;b = \left (y_1, y_2, y_3 \right )\;;\;c = \left (z_1, z_2, z_3 \right )\;\;\]
Tomando el punto a fijo, podemos considerar dos segmentos orientados:

\[\begin{array}{l l}\overrightarrow{ab}& = & \left (y_1-x_1, y_2-x_2, y_3-x_3 \right ) \\
\overrightarrow{ac}& = & \left (z_1-x_1, z_2-x_2, z_3-x_3 \right )\end{array}
\]
Considerando estos dos segmentos como vectores podemos desarrollar su producto vectorial con lo que obtenemos un vector perpendicular al plano formado por dichos vectores.

Si dividimos la expresión obtenida por su módulo, obtenemos el valor del vector unitario en dicha dirección:

\[û =\frac{\overrightarrow{ab} \land \overrightarrow{ac}}{\begin{vmatrix}
\overrightarrow{ab} \land \overrightarrow{ac}\end{vmatrix}
}\]
Para obtener la ecuación del plano, recordamos que todo vector del mismo se puede expresar como combinación lineal de dos vectores que no sean linealmente dependientes,

es decir:

\[ \overrightarrow{ap} = \lambda · \overrightarrow{ab} + \mu · \overrightarrow{ac}\]
siendo p un punto genérico del plano y λ y μ dos parámetros escalares.

La ecuación del plano también se puede obtener teniendo en cuenta que el producto mixto de tres vectores coplanarios es nulo. De esa forma, desarrollando el determinante:

\[\left|
\begin{array}{ccc}
p_1-x_1 & p_2-x_2 & p_3-x_3 \\
y_1-x_1 & y_2-x_2 & y_3-x_3 \\
z_1-x_1 & z_2-x_2 & z_3-x_3 \\
\end{array}
\right|
\]

obtenemos la ecuación del plano considerado.