PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Estudiar la diferencial en el origen de la función:

la función \(R^3\rightarrow R^3 \) definida por:

    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} f(x,y,z) = \left(\cos{x·y},x·y·z, (1/z)\right) \quad si \;z \neq 0 \\  \\ f(x,y,0) = \left(1,0, 0\right)\\ \end{array} \right. \)
Y calcularla en el caso de que exista.

Respuesta al ejercicio 55
Consideremos ahora el segundo ejemplo:
    \(\displaystyle g: R^2\rightarrow R^3 \left\{ \begin{array}{l} f(x,y,z) = \left(\cos(xy),xyz, (1/z)\right) \quad si \;z \neq 0 \\  \\ f(x,y,0) = \left(1,0, 0\right)\\ \end{array} \right. \)

La función g será diferenciable si lo son:

    \(\displaystyle g_1 = \cos (yz) \; ; \; g_2 = xyz \; ; \; g_3 = \frac{1}{z} (si \; z\neq 0), g_3 = 0 \;(si \; z= 0) \)

Las funciones \( g_1 \; y \; g_2\) no presentan problemas y se analizan como \(f_1 \; y \; f_2 \) del ejercicio anterior. Para \(g_3 \) se tiene:

    \(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 0}g_3(x,y,z) = \infty \neq g_3(0,0,0) = 0 \)

Y puesto que el límite de la función \(g_3 \) no coincide con su valor en (0,0,0), la función no es continua y, por tanto, no es diferenciable. Al no ser diferenciable una de sus componentes tampoco lo es la función g.

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tema escrito por: José Antonio Hervás