PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 54
Para que una función definida en \(R^n \) sea diferenciable, es necesario y suficiente que lo sean cada una de las componentes de dicha función, es decir:
    \(\displaystyle f = (f_1, \cdots , f_n) \Leftrightarrow \exists\quad \frac{\partial f_1}{\partial x_j}, \cdots ,\frac{\partial f_n}{\partial x_j} \)

Donde \(x_j \) son las variables de que depende cada \(f_i \) .
En nuestro caso tenemos, para la primera función:

    \(\displaystyle f = (f_1,f_2,f_3) \quad\left( \begin{array}{l} f_1(x,y) = e^{x+y} \\ f_2(x,y) =\sin(x-y) \\ f_3(x,y) =x^2\sin(1/x) \\ \end{array} \right. \)

Y f será diferenciable si lo son \(f_1, f_2 \; y \; f_3 \) . Veamos si ocurre así:
Para \(f_1 \) se tiene:

    \(\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x} = D_1f_1(x,y) = e^{x+y}\quad ; \quad \frac{\partial f_1}{\partial y} = D_2f_1(x,y) = e^{x+y} \)

Puesto que \(D_1f_1 \) y \(D_2f_1\) son continuas en (0,0) y están definidas en \(R^2 \), la función \(f_1 \) será diferenciable ya que es condición suficiente que una función sea diferenciable en un punto, el que existan sus derivadas parciales en dicho punto y sean continuas en él.
La diferencial en el origen de \( f_1\) la calculamos como sigue:

    \(D_1f_1(0,0) = 1 \quad ; \quad D_2f_1(0,0) = 1\)

Tenemos entonces dos funciones definidas de \(R^2 \) en R.

La diferencial de \(f_1 \) en un entorno de (0,0) será una función definida de \(R^2 \) en R por

    \(Df_1(0,0) = \lambda_1 \Rightarrow \lambda_1(h,k) = 1·h + 1·k\)

Analizamos ahora la función \(f_2 \)

    \(\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x} = D_1f_2(x,y) = \cos(x-y)\; ; \; \frac{\partial f_2}{\partial y} = D_2f_2(x,y) = - \cos(x-y)\)

Que son funciones continuas en el punto (0,0); y, por lo mismo que \(f_1, f_2\) será diferenciable en (0,0).

La diferencial en el origen vale:

    \(D_1f_2(0,0) = 1 \; ; \; D_2f_2(0,0) = -1\Rightarrow df_2(0,0) = \lambda_2\)
Donde \(\lambda_2 \) es una función definida de \(R^2 \) en R, que en un entorno de (0,0) vale:
    \( \lambda_2(h,k) = 1·h - 1·k \)

Veamos, por último, el comportamiento de \(f_3 \) :

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial f_3}{\partial x} = D_1f_3(x,y) = 2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)+ x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x^2} = \\  \\ = 2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)+ \cos \left(\frac{1}{x}\right) \end{array} \)

Esta función \(D_1f_3 \) no está definida en (0,0) luego no podemos aplicar los conceptos anteriores para ver si es diferenciable. Utilizaremos entonces la definición de derivada parcial en un punto:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} D_1f_3(0,0) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_3(h,0)- f_3(0,0)}{h} = \\  \\ = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^2\sin(1/h)- 0}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} h\sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0 \end{array} \)

Esto es así porque \(\sin(1/h) \) está acotado entre 1 y -1, y Lim h=0

La derivada parcial de \(f_3 \) respecto a \(y, D_2f_3\) es necesariamente nula puesto que \(f_3 \) no es función de \(y \).

Caso de que exista la diferencial \(\lambda_3(h,k) \) será de la forma:

    \(\lambda_3(h,k) = 0·h + 0·k\)

Es decir, en todo punto de un entorno de (0,0) será nula.

Comprobamos si ocurre así:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{f_3(h,k)-f_3(0,0)- \lambda_3(h,k)}{\|(h,k)\|}= \\  \\ = \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{h^2\sin(1/h)-0-0}{\sqrt{h^2+k^2}}= 0 \end{array} \)

Puesto que se tiene:

    \(\displaystyle \frac{|h^2\sin(1/h)|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{|h^2}{\sqrt{h^2+k^2}}\leq \frac{|h^2 + k^2}{\sqrt{h^2+k^2}}= \sqrt{h^2+k^2} = \|(h,k)\| \)

Y como \(\|(h,k)\| \) tiende a cero cuando \((h,k) \rightarrow 0\), será cierto que la diferencial de \(f_3 \) en (0,0) es nula.

Por todo lo dicho, la función f será diferenciable en (0,0) ya que lo son \( f_1, f_2 \; y \; f_3\) .
La diferencial \( \lambda \) de f en un entorno de (0,0) será una función de \(R^2 \; en \; R^3\), de la forma:

    \(\begin{array}{l}
    df(0,0) = \lambda : R^2 \rightarrow R^3 \; ; \;\lambda(h,k) = \\
     \\
    = [\lambda_1(h,k), \lambda_2(h,k), \lambda_3(h,k)] = (h+k , h-k , 0)
    \end{array}
    \)

Esta expresión se puede poner en la forma:

    \(df(0,0) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} h \\ k \\ \end{array} \right)\qquad\qquad (1) \)

Cuando se diga que una función f es diferenciable, no es necesario verificarlo y podemos calcular su diferencial en un entorno del punto considerado obteniendo las derivadas parciales y aplicando la ecuación (1).

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás