PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Sea u = f(x,y,z) una función homogénea de grado n, comprobar que el teorema de Euler sobre funciones homogeneas se cumple en el ejemplo siguiente :
    \(\displaystyle u = \left(\frac{x}{y}\right)^{y/z} \)
Respuesta al ejercicio 53
Por último, para el ejemplo de ese tercer caso, se tiene:
    \(\displaystyle f(tx, ty, tz) = \left(\frac{tx}{ty}\right)^{ty/tz} = f(x, y, z) \)

Y la función es homogénea de grado 0.

Haciendo como en los casos anteriores:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{z}\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}-1} \\  \\ \frac{\partial u}{\partial y} = - \left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}}\frac{y}{z^2}\ln (x/y) \end{array} \)

La derivada parcial \( \frac{\partial u}{\partial z}\) y la calculamos tomando logaritmos:

    \(\displaystyle A = \left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}} \Rightarrow \ln A = \frac{y}{z}\ln\left(\frac{x}{y}\right) \)

Y derivando respecto a y:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{A'_y}{A} = \frac{1}{z}\ln\left(\frac{x}{y}\right) + \frac{y}{z}\frac{-x/y^2}{x/y} = \frac{1}{z}\ln\left(\frac{x}{y}\right)- \frac{1}{z}\Rightarrow \\  \\ \Rightarrow A'_y = \frac{\partial u}{\partial z} = \left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}}\left[\frac{1}{z}\ln\left(\frac{x}{y}\right)- \frac{1}{z}\right] \end{array} \)

Y operando con los términos, después de multiplicarlos por las variables correspondientes:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{x}{z}\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}-1} + \frac{y}{z}\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}}\left[\ln\left(\frac{x}{y}\right)-1\right] - \\  \\ - \frac{x}{z}\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}}\ln\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{x}{z}\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}-1} - \frac{y}{z}\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}} = \end{array} \)

Si sacamos factor común

    \(\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}-1} \)
resulta:

    \(\displaystyle x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} + z\frac{\partial u}{\partial z} = \left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{y}{z}-1}\left[\frac{x}{z}- \frac{y}{z}\frac{x}{y}\right] = 0 \)

Con lo que queda demostrado que este problema satisface el teorema de Euler de las funciones homogéneas.

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tema escrito por: José Antonio Hervás