PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Sea u = f(x,y,z) una función homogénea de grado n, comprobar que el teorema de Euler relativo a funciones homogeneas se cumple en la siguiente función :
    \(\displaystyle u = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \)
Respuesta al ejercicio 52
Para el ejemplo resulta:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} f(tx,ty,tz) = \frac{tx}{\sqrt{t^2x^2 + t^2y^2+t^2z^2}} = \\  \\ = \frac{tx}{\sqrt{t^2(x^2 + y^2+z^2)}} = \frac{tx}{t\sqrt{x^2 + y^2+z^2}}= \\  \\ = \frac{ x}{\sqrt{x^2 + y^2+z^2}} = u \end{array} \)

Y la función homogénea de grado 0.

Por el teorema de Euler hacemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y^2+z^2}{(x^2 + y^2+z^2)^{3/2}} \; ; \; \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{xy}{(x^2 + y^2+z^2)^{3/2}} \\  \\ \frac{\partial u}{\partial z} = - \frac{xz}{(x^2 + y^2+z^2)^{3/2}} \end{array} \)

Y multiplicando cada término por la variable correspondiente:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} x\times \frac{y^2+z^2}{(x^2 + y^2+z^2)^{3/2}} - y\times \frac{xy}{(x^2 + y^2+z^2)^{3/2}} - \\  \\ - z\times \frac{xz}{(x^2 + y^2+z^2)^{3/2}} = \frac{xy^2 + xz^2 - xy^2 - xz^2}{(x^2 + y^2+z^2)^{3/2}} = 0 \end{array} \)

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tema escrito por: José Antonio Hervás