PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 51
Para que una función sea homogénea de grado n, se ha de cumplir
    \(f(tx_1, \cdots , tx_n) = t^nf(x_1, \cdots , x_n)\quad \forall t \in R \)

Para este ejemplo tenemos:

    \(f(tx,ty,tz) = (tx-2ty + 3tz)^2 = t^2(x-y + z)^2 = t^2u \)

Por lo tanto, la función \( (x-y + z)^2\) es una función homogénea de grado 2.

Veamos si cumple el teorema de Euler cuyo enunciado es: Si \(w = f(x_1, \cdots , x_n) \) es una función homogénea de grado n en un recinto D, se verifica:

    \(\displaystyle x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + \cdots + x_n\frac{\partial f}{\partial x_n} = nf(x_1, \cdots , x_n) \)

Obteniendo las derivadas primeras resulta:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial u}{\partial x} = 2(x-2y+3z)\; ; \;\frac{\partial u}{\partial y} = -4(x-2y+3z) \\
     \\
    \frac{\partial u}{\partial z} =6(x-2y+3z)
    \end{array}\)

Y según el enunciado se ha de cumplir:

    \(\begin{array}{l}
    x·2(x-2y+3z) - y·4(x-2y+3z) + \\
     \\
    + z·6(x-2y+3z)= 2(x-2y+3z)^2
    \end{array} \)

Sacando factor común (\(x-2y+3z)\) en el primer miembro, tenemos:

    \( \begin{array}{l} x2(x-2y+3z) - y4(x-2y+3z) + z6(x-2y+3z)= \\  \\ = (x-2y+3z)(2x-4y+6z) = 2(x-2y+3z)( x-2y+3z) \\  \\ = 2(x-2y+3z)^2 \end{array} \)

Y, por lo tanto, se cumple el teorema.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás