PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 49
las derivadas parciales de primero y segundo orden de la primera función vale:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x} =- \frac{2x\sin x^2}{y} \; ; \;\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\cos x^2}{y^2} \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{2\sin x^2 + 4x^2\cos x^2}{y} \; ; \;\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = +\frac{2\cos x^2}{y^3} \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{2x\sin x^2}{y^2} \\  \end{array} \)

Y las diferenciales de primero y segundo orden son:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} du = - \frac{2x\sin x^2}{y}dx - \frac{\cos x^2}{y^2}dy \\  \\ d^2u = \frac{2\sin x^2 + 4x^2\cos x^2}{y}d^2x + \frac{4x\sin x^2}{y^2}dxdy +\frac{2\cos x^2}{y^3}d^2y \end{array} \)
las derivadas parciales de primero y segundo orden de la segunda función son:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{y·\cos^2(x^2/y)} \; ; \;\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x^2}{y^2·\cos^2(x^2/y)} \\
     \\
    \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{2y·\cos(x^2/y) + 8x^2·\sin(x^2/y)}{y^2·\cos^3(x^2/y)}\\
     \\
    \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{2y·x^2\cos(x^2/y) + 2x^2·\sin(x^2/y)}{y^4·\cos^3(x^2/y)} \\
     \\
    \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = - \frac{2x·y\cos(x^2/y) + 4x^3·\sin (x^2/y)}{y^3·\cos^3(x^2/y)} \\
    
    \end{array} \)

Por lo tanto la diferencial de primer orden es:

    \(\displaystyle du = \frac{2x}{y\cos^2(x^2/y)}dx - \frac{x^2}{y^2\cos^2(x^2/y)}dy \)
las derivadas parciales de primero y segundo orden de la tercera función son:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x+y^2}\; ; \;\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x+y^2} \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = - \frac{1}{(x+y^2)^2}\; ; \; \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =\frac{2x-2y^2}{(x+y^2)^2} \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} =- \frac{2y}{(x+y^2)^2} \end{array} \)

Por lo tanto la diferencial de primer orden es:

    \(\displaystyle du = \frac{1}{x+y^2}dx + \frac{2y}{x+y^2}dy \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás