PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 48
las derivadas parciales de primero y segundo orden de la primera función son:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{y^2} \; ; \;\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{2x}{y^3} \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \; ; \;\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = +\frac{6x}{y^4} \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = - \frac{2}{y^3} \\  \end{array} \)

Por lo tanto la diferencial de primer orden es:

    \(\displaystyle du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy = \frac{1}{y^2}dx - \frac{2x}{y^3}dy \)
las derivadas parciales de primero y segundo orden de la segunda función son:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y^2}{\left(x^2+y^2\right)^{3/2}} \; ; \;\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x·y}{\left(x^2+y^2\right)^{3/2}} \\
     \\
    \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{3x·y^2}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}} \; ; \;\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{3x·y^2 - x(x^2+y^2)}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}} \\
     \\
    \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = -\frac{2y·x^2 - y^3}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}} \\
    
    \end{array} \)

Por lo tanto la diferencial de primer orden es:

    \(\displaystyle du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy = \frac{y^2}{\left(x^2+y^2\right)^{3/2}}dx - \frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)^{3/2}}dy \)
las derivadas parciales de primero y segundo orden de la tercera función son:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x} = \sin(x+y)+ x\cos(x+y) \; ; \;\frac{\partial u}{\partial y} = x\cos (x+y) \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2\cos (x+y) - x\sin (x+y) \; ; \;\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -x\sin (x+y) \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \cos (x+y) - x\sin (x+y) \\  \end{array} \)

Por lo tanto la diferencial de primer orden es:

    \(du = [\sin(x+y)+ x\cos(x+y)]dx + [x\cos (x+y)]dy \)
En este caso calculamos también la diferencial de segundo orden que vale:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    d^2u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}·d^2x + 2\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}dxdy + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}·d^2y = \\
     \\
    [2·\cos (x+y) - x·\sin (x+y)]d^2x + 2[\cos (x+y) -\\
     \\
    - x·\sin (x+y)]dxdy -x·\sin (x+y)·d^2y
    \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás